home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
view JSON data
|
view as text
|
open on a Mac
|
open on a PC
This file was processed as: LaTeX Document
(document/latex).
You can browse this item here: ose94.tex
| Confidence | Program | Detection | Match Type | Support
|
|---|
| 100%
| dexvert
| LaTeX Document (document/latex)
| magic
| Supported |
| 1%
| dexvert
| Corel 10 Texture (image/corel10Texture)
| ext
| Unsupported |
| 1%
| dexvert
| Croteam texture file (image/croteamTextureFile)
| ext
| Unsupported |
| 1%
| dexvert
| Text File (text/txt)
| fallback
| Supported |
| 100%
| file
| LaTeX document text
| default
| |
| 99%
| file
| LaTeX document, ASCII text
| default
| |
| 100%
| checkBytes
| Printable ASCII
| default
| |
| 100%
| perlTextCheck
| Likely Text (Perl)
| default
| |
| 100%
| siegfried
| fmt/281 LaTeX (Subdocument)
| default
| |
| 100%
| detectItEasy
| Format: plain text[LF]
| default (weak)
|
|
hex view+--------+-------------------------+-------------------------+--------+--------+
|00000000| 5c 64 6f 63 75 6d 65 6e | 74 73 74 79 6c 65 5b 31 |\documen|tstyle[1|
|00000010| 32 70 74 5d 7b 61 72 74 | 69 63 6c 65 7d 0a 5c 74 |2pt]{art|icle}.\t|
|00000020| 65 78 74 68 65 69 67 68 | 74 20 39 69 6e 0a 5c 64 |extheigh|t 9in.\d|
|00000030| 65 66 5c 67 64 6f 74 23 | 31 7b 5c 72 6c 61 70 7b |ef\gdot#|1{\rlap{|
|00000040| 24 23 31 24 7d 2f 7d 0a | 5c 68 65 61 64 73 65 70 |$#1$}/}.|\headsep|
|00000050| 20 31 2e 35 63 6d 0a 5c | 74 6f 70 6d 61 72 67 69 | 1.5cm.\|topmargi|
|00000060| 6e 20 2d 31 69 6e 0a 5c | 74 65 78 74 77 69 64 74 |n -1in.\|textwidt|
|00000070| 68 20 35 2e 35 69 6e 0a | 5c 6f 64 64 73 69 64 65 |h 5.5in.|\oddside|
|00000080| 6d 61 72 67 69 6e 20 30 | 2e 35 69 6e 0a 5c 65 76 |margin 0|.5in.\ev|
|00000090| 65 6e 73 69 64 65 6d 61 | 72 67 69 6e 20 30 69 6e |ensidema|rgin 0in|
|000000a0| 0a 0a 5c 62 65 67 69 6e | 7b 64 6f 63 75 6d 65 6e |..\begin|{documen|
|000000b0| 74 7d 0a 5c 62 65 67 69 | 6e 7b 63 65 6e 74 65 72 |t}.\begi|n{center|
|000000c0| 7d 0a 7b 5c 4c 41 52 47 | 45 7b 5c 62 66 20 54 48 |}.{\LARG|E{\bf TH|
|000000d0| 45 20 41 58 49 41 4c 20 | 43 48 41 52 47 45 5c 5c |E AXIAL |CHARGE\\|
|000000e0| 0a 0a 5c 76 73 70 61 63 | 65 7b 30 2c 33 63 6d 7d |..\vspac|e{0,3cm}|
|000000f0| 0a 0a 52 45 4e 4f 52 4d | 41 4c 49 5a 41 54 49 4f |..RENORM|ALIZATIO|
|00000100| 4e 20 49 4e 20 41 5c 5c | 0a 0a 5c 76 73 70 61 63 |N IN A\\|..\vspac|
|00000110| 65 7b 30 2c 33 63 6d 7d | 0a 0a 52 45 4c 41 54 49 |e{0,3cm}|..RELATI|
|00000120| 56 49 53 54 49 43 20 44 | 45 53 43 52 49 50 54 49 |VISTIC D|ESCRIPTI|
|00000130| 4f 4e 5c 5c 0a 0a 5c 76 | 73 70 61 63 65 7b 30 2c |ON\\..\v|space{0,|
|00000140| 37 63 6d 7d 0a 0a 4f 46 | 20 46 49 4e 49 54 45 20 |7cm}..OF| FINITE |
|00000150| 4e 55 43 4c 45 49 7d 7d | 0a 0a 5c 65 6e 64 7b 63 |NUCLEI}}|..\end{c|
|00000160| 65 6e 74 65 72 7d 0a 0a | 5c 62 65 67 69 6e 7b 63 |enter}..|\begin{c|
|00000170| 65 6e 74 65 72 7d 0a 0a | 7b 5c 6c 61 72 67 65 7b |enter}..|{\large{|
|00000180| 41 2e 7e 47 69 6c 2c 20 | 4d 2e 7e 4b 6c 65 69 6e |A.~Gil, |M.~Klein|
|00000190| 6d 61 6e 6e 2c 20 48 2e | 7e 4d 5c 22 75 74 68 65 |mann, H.|~M\"uthe|
|000001a0| 72 20 61 6e 64 20 45 2e | 7e 4f 73 65 74 7d 7d 0a |r and E.|~Oset}}.|
|000001b0| 0a 5c 65 6e 64 7b 63 65 | 6e 74 65 72 7d 0a 0a 5c |.\end{ce|nter}..\|
|000001c0| 62 65 67 69 6e 7b 63 65 | 6e 74 65 72 7d 0a 0a 7b |begin{ce|nter}..{|
|000001d0| 5c 73 6d 61 6c 6c 7b 5c | 69 74 20 44 65 70 61 72 |\small{\|it Depar|
|000001e0| 74 61 6d 65 6e 74 6f 20 | 64 65 20 46 5c 27 7b 5c |tamento |de F\'{\|
|000001f0| 69 7d 73 69 63 61 20 54 | 65 5c 27 6f 72 69 63 61 |i}sica T|e\'orica|
|00000200| 20 61 6e 64 20 49 46 49 | 43 5c 5c 0a 43 65 6e 74 | and IFI|C\\.Cent|
|00000210| 72 6f 20 4d 69 78 74 6f | 20 55 6e 69 76 65 72 73 |ro Mixto| Univers|
|00000220| 69 64 61 64 20 64 65 20 | 56 61 6c 65 6e 63 69 61 |idad de |Valencia|
|00000230| 20 2d 20 43 53 49 43 5c | 5c 0a 34 36 31 30 30 20 | - CSIC\|\.46100 |
|00000240| 42 75 72 6a 61 73 73 6f | 74 20 28 56 61 6c 65 6e |Burjasso|t (Valen|
|00000250| 63 69 61 29 2c 20 53 70 | 61 69 6e 5c 5c 0a 61 6e |cia), Sp|ain\\.an|
|00000260| 64 5c 5c 0a 49 6e 73 74 | 69 74 75 74 20 66 5c 22 |d\\.Inst|itut f\"|
|00000270| 75 72 20 54 68 65 6f 72 | 65 74 69 73 63 68 65 20 |ur Theor|etische |
|00000280| 50 68 79 73 69 6b 5c 5c | 0a 55 6e 69 76 65 72 73 |Physik\\|.Univers|
|00000290| 69 74 5c 22 61 74 20 54 | 5c 22 75 62 69 6e 67 65 |it\"at T|\"ubinge|
|000002a0| 6e 5c 5c 0a 37 32 30 37 | 36 20 54 5c 22 75 62 69 |n\\.7207|6 T\"ubi|
|000002b0| 6e 67 65 6e 2c 20 47 65 | 72 6d 61 6e 79 7d 7d 0a |ngen, Ge|rmany}}.|
|000002c0| 0a 5c 65 6e 64 7b 63 65 | 6e 74 65 72 7d 0a 0a 5c |.\end{ce|nter}..\|
|000002d0| 76 73 70 61 63 65 7b 33 | 63 6d 7d 0a 0a 5c 62 65 |vspace{3|cm}..\be|
|000002e0| 67 69 6e 7b 61 62 73 74 | 72 61 63 74 7d 0a 0a 7b |gin{abst|ract}..{|
|000002f0| 5c 73 6d 61 6c 6c 7b 53 | 74 61 72 74 69 6e 67 20 |\small{S|tarting |
|00000300| 66 72 6f 6d 20 61 20 72 | 65 61 6c 69 73 74 69 63 |from a r|ealistic|
|00000310| 20 4f 6e 65 2d 42 6f 73 | 6f 6e 2d 45 78 63 68 61 | One-Bos|on-Excha|
|00000320| 6e 67 65 20 6d 6f 64 65 | 6c 20 6f 66 20 74 68 65 |nge mode|l of the|
|00000330| 0a 6e 75 63 6c 65 6f 6e | 20 6e 75 63 6c 65 6f 6e |.nucleon| nucleon|
|00000340| 20 69 6e 74 65 72 61 63 | 74 69 6f 6e 20 74 68 65 | interac|tion the|
|00000350| 20 72 65 6c 61 74 69 76 | 69 73 74 69 63 20 6d 65 | relativ|istic me|
|00000360| 61 6e 20 66 69 65 6c 64 | 20 66 6f 72 20 6e 75 63 |an field| for nuc|
|00000370| 6c 65 6f 6e 73 20 69 73 | 0a 64 65 74 65 72 6d 69 |leons is|.determi|
|00000380| 6e 65 64 20 77 69 74 68 | 69 6e 20 74 68 65 20 44 |ned with|in the D|
|00000390| 69 72 61 63 20 42 72 75 | 65 63 6b 6e 65 72 20 48 |irac Bru|eckner H|
|000003a0| 61 72 74 72 65 65 20 46 | 6f 63 6b 20 61 70 70 72 |artree F|ock appr|
|000003b0| 6f 61 63 68 20 66 6f 72 | 20 66 69 6e 69 74 65 0a |oach for| finite.|
|000003c0| 6e 75 63 6c 65 69 2e 20 | 54 68 65 20 6d 61 74 72 |nuclei. |The matr|
|000003d0| 69 78 20 65 6c 65 6d 65 | 6e 74 73 20 6f 66 20 74 |ix eleme|nts of t|
|000003e0| 68 65 20 61 78 69 61 6c | 20 63 68 61 72 67 65 20 |he axial| charge |
|000003f0| 6f 70 65 72 61 74 6f 72 | 20 65 76 61 6c 75 61 74 |operator| evaluat|
|00000400| 65 64 20 66 6f 72 0a 74 | 68 65 20 73 6f 6c 75 74 |ed for.t|he solut|
|00000410| 69 6f 6e 73 20 6f 66 20 | 74 68 65 20 44 69 72 61 |ions of |the Dira|
|00000420| 63 20 65 71 75 61 74 69 | 6f 6e 20 77 69 74 68 20 |c equati|on with |
|00000430| 74 68 69 73 20 73 65 6c | 66 65 6e 65 72 67 79 20 |this sel|fenergy |
|00000440| 61 72 65 0a 69 6e 76 65 | 73 74 69 67 61 74 65 64 |are.inve|stigated|
|00000450| 2e 20 54 68 65 73 65 20 | 6d 61 74 72 69 78 20 65 |. These |matrix e|
|00000460| 6c 65 6d 65 6e 74 73 20 | 61 72 65 20 65 6e 68 61 |lements |are enha|
|00000470| 6e 63 65 64 20 77 69 74 | 68 0a 72 65 73 70 65 63 |nced wit|h.respec|
|00000480| 74 20 74 6f 20 74 68 65 | 20 65 71 75 69 76 61 6c |t to the| equival|
|00000490| 65 6e 74 20 6e 6f 6e 20 | 72 65 6c 61 74 69 76 69 |ent non |relativi|
|000004a0| 73 74 69 63 20 6f 6e 65 | 73 20 6f 62 74 61 69 6e |stic one|s obtain|
|000004b0| 65 64 20 66 72 6f 6d 20 | 74 68 65 20 73 6f 6c 75 |ed from |the solu|
|000004c0| 74 69 6f 6e 73 0a 6f 66 | 20 74 68 65 20 53 63 68 |tions.of| the Sch|
|000004d0| 72 5c 22 6f 64 69 6e 67 | 65 72 20 65 71 75 61 74 |r\"oding|er equat|
|000004e0| 69 6f 6e 20 77 69 74 68 | 20 74 68 65 20 6e 6f 6e |ion with| the non|
|000004f0| 20 72 65 6c 61 74 69 76 | 69 73 74 69 63 20 65 71 | relativ|istic eq|
|00000500| 75 69 76 61 6c 65 6e 74 | 20 70 6f 74 65 6e 74 69 |uivalent| potenti|
|00000510| 61 6c 2e 20 54 68 65 0a | 70 72 65 73 65 6e 74 20 |al. The.|present |
|00000520| 72 65 73 75 6c 74 73 20 | 63 6f 6e 66 69 72 6d 20 |results |confirm |
|00000530| 61 74 20 61 20 71 75 61 | 6c 69 74 61 74 69 76 65 |at a qua|litative|
|00000540| 20 6c 65 76 65 6c 20 74 | 68 65 20 72 65 73 75 6c | level t|he resul|
|00000550| 74 73 20 66 6f 72 20 74 | 68 65 20 61 78 69 61 6c |ts for t|he axial|
|00000560| 0a 63 68 61 72 67 65 20 | 72 65 6e 6f 72 6d 61 6c |.charge |renormal|
|00000570| 69 7a 61 74 69 6f 6e 20 | 6f 62 74 61 69 6e 65 64 |ization |obtained|
|00000580| 20 77 69 74 68 20 70 65 | 72 74 75 72 62 61 74 69 | with pe|rturbati|
|00000590| 76 65 20 61 70 70 72 6f | 61 63 68 65 73 2e 20 48 |ve appro|aches. H|
|000005a0| 6f 77 65 76 65 72 2c 20 | 74 68 65 0a 72 65 73 75 |owever, |the.resu|
|000005b0| 6c 74 73 20 6f 62 74 61 | 69 6e 65 64 20 64 69 66 |lts obta|ined dif|
|000005c0| 66 65 72 20 69 6e 20 73 | 69 7a 65 20 66 72 6f 6d |fer in s|ize from|
|000005d0| 20 74 68 6f 73 65 20 6f | 66 20 74 68 65 20 70 65 | those o|f the pe|
|000005e0| 72 74 75 72 62 61 74 69 | 76 65 20 61 70 70 72 6f |rturbati|ve appro|
|000005f0| 61 63 68 20 61 6e 64 0a | 61 72 65 20 6e 75 63 6c |ach and.|are nucl|
|00000600| 65 75 73 20 61 6e 64 20 | 73 74 61 74 65 20 64 65 |eus and |state de|
|00000610| 70 65 6e 64 65 6e 74 2e | 7d 7d 0a 0a 5c 65 6e 64 |pendent.|}}..\end|
|00000620| 7b 61 62 73 74 72 61 63 | 74 7d 0a 0a 5c 6e 65 77 |{abstrac|t}..\new|
|00000630| 70 61 67 65 0a 0a 5c 73 | 65 63 74 69 6f 6e 7b 49 |page..\s|ection{I|
|00000640| 6e 74 72 6f 64 75 63 74 | 69 6f 6e 2e 7d 0a 0a 41 |ntroduct|ion.}..A|
|00000650| 73 20 73 75 67 67 65 73 | 74 65 64 20 69 6e 20 72 |s sugges|ted in r|
|00000660| 65 66 2e 20 5c 63 69 74 | 65 7b 31 7d 20 74 68 65 |ef. \cit|e{1} the|
|00000670| 20 70 72 65 73 65 6e 63 | 65 20 6f 66 20 61 20 6c | presenc|e of a l|
|00000680| 61 72 67 65 20 73 63 61 | 6c 61 72 20 70 6f 74 65 |arge sca|lar pote|
|00000690| 6e 74 69 61 6c 20 69 6e | 20 61 0a 72 65 6c 61 74 |ntial in| a.relat|
|000006a0| 69 76 69 73 74 69 63 20 | 76 65 72 73 69 6f 6e 20 |ivistic |version |
|000006b0| 6f 66 20 74 68 65 20 6e | 75 63 6c 65 6f 6e 20 73 |of the n|ucleon s|
|000006c0| 65 6c 66 65 6e 65 72 67 | 79 20 69 6e 20 74 68 65 |elfenerg|y in the|
|000006d0| 20 6e 75 63 6c 65 75 73 | 20 5c 63 69 74 65 7b 32 | nucleus| \cite{2|
|000006e0| 7d 20 6c 65 61 64 73 0a | 74 6f 20 61 20 73 69 7a |} leads.|to a siz|
|000006f0| 65 61 62 6c 65 20 72 65 | 6e 6f 72 6d 61 6c 69 7a |eable re|normaliz|
|00000700| 61 74 69 6f 6e 20 6f 66 | 20 74 68 65 20 61 78 69 |ation of| the axi|
|00000710| 61 6c 20 63 68 61 72 67 | 65 20 69 6e 20 6e 75 63 |al charg|e in nuc|
|00000720| 6c 65 69 2e 20 54 68 69 | 73 0a 72 65 6e 6f 72 6d |lei. Thi|s.renorm|
|00000730| 61 6c 69 7a 61 74 69 6f | 6e 2c 20 77 68 69 63 68 |alizatio|n, which|
|00000740| 20 69 73 20 61 6c 73 6f | 20 73 6f 6d 65 74 69 6d | is also| sometim|
|00000750| 65 73 20 72 65 66 65 72 | 65 64 20 74 6f 20 61 73 |es refer|ed to as|
|00000760| 20 74 68 65 20 68 65 61 | 76 79 20 6d 65 73 6f 6e | the hea|vy meson|
|00000770| 0a 65 78 63 68 61 6e 67 | 65 20 63 75 72 72 65 6e |.exchang|e curren|
|00000780| 74 20 63 6f 6e 74 72 69 | 62 75 74 69 6f 6e 2c 20 |t contri|bution, |
|00000790| 20 20 6d 75 73 74 20 62 | 65 20 63 6f 6e 73 69 64 | must b|e consid|
|000007a0| 65 72 65 64 20 69 6e 20 | 61 64 64 69 74 69 6f 6e |ered in |addition|
|000007b0| 20 74 6f 20 74 68 65 0a | 63 6f 6e 76 65 6e 74 69 | to the.|conventi|
|000007c0| 6f 6e 61 6c 20 20 6d 65 | 73 6f 6e 20 65 78 63 68 |onal me|son exch|
|000007d0| 61 6e 67 65 20 63 75 72 | 72 65 6e 74 73 20 73 74 |ange cur|rents st|
|000007e0| 75 64 69 65 64 20 65 61 | 72 6c 69 65 72 20 5c 63 |udied ea|rlier \c|
|000007f0| 69 74 65 7b 33 2c 34 2c | 35 2c 36 7d 2e 20 0a 4d |ite{3,4,|5,6}. .M|
|00000800| 6f 72 65 20 71 75 61 6e | 74 69 74 61 74 69 76 65 |ore quan|titative|
|00000810| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 20 0a 65 76 61 6c | | .eval|
|00000820| 75 61 74 69 6f 6e 73 20 | 6f 66 20 74 68 69 73 20 |uations |of this |
|00000830| 72 65 6e 6f 72 6d 61 6c | 69 7a 61 74 69 6f 6e 2c |renormal|ization,|
|00000840| 20 66 6f 6c 6c 6f 77 69 | 6e 67 20 74 68 65 20 69 | followi|ng the i|
|00000850| 64 65 61 20 6f 66 20 5c | 63 69 74 65 7b 31 7d 2c |dea of \|cite{1},|
|00000860| 20 68 61 76 65 20 62 65 | 65 6e 0a 72 65 63 65 6e | have be|en.recen|
|00000870| 74 6c 79 20 70 72 6f 76 | 69 64 65 64 20 69 6e 20 |tly prov|ided in |
|00000880| 5c 63 69 74 65 7b 37 2c | 37 61 2c 38 7d 2e 20 49 |\cite{7,|7a,8}. I|
|00000890| 6e 20 72 65 66 2e 20 5c | 63 69 74 65 7b 37 7d 20 |n ref. \|cite{7} |
|000008a0| 61 20 70 65 72 74 75 72 | 62 61 74 69 76 65 0a 61 |a pertur|bative.a|
|000008b0| 70 70 72 6f 61 63 68 20 | 69 73 20 0a 75 73 65 64 |pproach |is .used|
|000008c0| 20 73 74 61 72 74 69 6e | 67 20 66 72 6f 6d 20 61 | startin|g from a|
|000008d0| 20 72 65 6c 61 74 69 76 | 69 73 74 69 63 20 64 65 | relativ|istic de|
|000008e0| 73 63 72 69 70 74 69 6f | 6e 20 6f 66 20 74 68 65 |scriptio|n of the|
|000008f0| 20 24 4e 4e 24 20 70 6f | 74 65 6e 74 69 61 6c 20 | $NN$ po|tential |
|00000900| 61 6e 64 20 74 61 6b 69 | 6e 67 0a 64 69 72 65 63 |and taki|ng.direc|
|00000910| 74 20 61 6e 64 20 65 78 | 63 68 61 6e 67 65 20 74 |t and ex|change t|
|00000920| 65 72 6d 73 2e 20 54 68 | 65 20 73 74 72 6f 6e 67 |erms. Th|e strong|
|00000930| 20 73 68 6f 72 74 2d 72 | 61 6e 67 65 20 61 6e 64 | short-r|ange and|
|00000940| 20 74 65 6e 73 6f 72 20 | 63 6f 6d 70 6f 6e 65 6e | tensor |componen|
|00000950| 74 73 20 6f 66 20 61 0a | 72 65 61 6c 69 73 74 69 |ts of a.|realisti|
|00000960| 63 20 24 4e 4e 24 20 69 | 6e 74 65 72 61 63 74 69 |c $NN$ i|nteracti|
|00000970| 6f 6e 20 67 69 76 65 20 | 72 69 7a 65 20 74 6f 20 |on give |rize to |
|00000980| 73 69 67 6e 69 66 69 63 | 61 6e 74 20 74 77 6f 2d |signific|ant two-|
|00000990| 6e 75 63 6c 65 6f 6e 0a | 63 6f 72 72 65 6c 61 74 |nucleon.|correlat|
|000009a0| 69 6f 6e 73 2e 20 54 68 | 65 20 65 66 66 65 63 74 |ions. Th|e effect|
|000009b0| 73 20 6f 66 20 24 4e 4e | 24 20 63 6f 72 72 65 6c |s of $NN|$ correl|
|000009c0| 61 74 69 6f 6e 73 20 61 | 72 65 20 74 61 6b 65 6e |ations a|re taken|
|000009d0| 20 69 6e 74 6f 20 61 63 | 63 6f 75 6e 74 20 69 6e | into ac|count in|
|000009e0| 0a 74 68 65 20 69 6e 76 | 65 73 74 69 67 61 74 69 |.the inv|estigati|
|000009f0| 6f 6e 73 20 6f 66 20 72 | 65 66 2e 20 5c 63 69 74 |ons of r|ef. \cit|
|00000a00| 65 7b 37 61 7d 20 62 79 | 20 75 73 69 6e 67 20 74 |e{7a} by| using t|
|00000a10| 68 65 20 42 72 75 65 63 | 6b 6e 65 72 20 47 2d 6d |he Bruec|kner G-m|
|00000a20| 61 74 72 69 78 2e 0a 54 | 68 65 20 65 73 74 69 6d |atrix..T|he estim|
|00000a30| 61 74 65 73 20 72 65 70 | 6f 72 74 65 64 20 69 6e |ates rep|orted in|
|00000a40| 20 5c 63 69 74 65 7b 37 | 7d 20 61 6e 64 20 5c 63 | \cite{7|} and \c|
|00000a50| 69 74 65 7b 37 61 7d 20 | 77 65 72 65 20 6d 61 64 |ite{7a} |were mad|
|00000a60| 65 20 66 6f 72 20 74 68 | 65 0a 73 79 73 74 65 6d |e for th|e.system|
|00000a70| 20 6f 66 20 69 6e 66 69 | 6e 69 74 65 20 6e 75 63 | of infi|nite nuc|
|00000a80| 6c 65 61 72 20 6d 61 74 | 74 65 72 2e 0a 0a 54 68 |lear mat|ter...Th|
|00000a90| 65 20 69 6e 76 65 73 74 | 69 67 61 74 69 6f 6e 73 |e invest|igations|
|00000aa0| 20 6f 66 20 72 65 66 2e | 20 5c 63 69 74 65 7b 38 | of ref.| \cite{8|
|00000ab0| 7d 20 61 72 65 20 70 65 | 72 66 6f 72 6d 65 64 20 |} are pe|rformed |
|00000ac0| 64 69 72 65 63 74 6c 79 | 20 66 6f 72 0a 66 69 6e |directly| for.fin|
|00000ad0| 69 74 65 20 6e 75 63 6c | 65 69 2e 20 41 6c 73 6f |ite nucl|ei. Also|
|00000ae0| 20 69 6e 20 74 68 69 73 | 20 63 61 73 65 20 74 68 | in this| case th|
|00000af0| 65 20 65 66 66 65 63 74 | 20 6f 66 20 74 68 65 20 |e effect| of the |
|00000b00| 6e 75 63 6c 65 6f 6e 20 | 73 65 6c 66 65 6e 65 72 |nucleon |selfener|
|00000b10| 67 79 20 69 73 0a 74 72 | 65 61 74 65 64 20 69 6e |gy is.tr|eated in|
|00000b20| 20 61 20 70 65 72 74 75 | 72 62 61 74 69 76 65 20 | a pertu|rbative |
|00000b30| 77 61 79 2e 20 54 68 65 | 20 6f 70 65 72 61 74 6f |way. The| operato|
|00000b40| 72 73 20 61 72 65 20 72 | 65 64 75 63 65 64 20 74 |rs are r|educed t|
|00000b50| 6f 20 61 20 62 69 73 70 | 69 6e 6f 72 0a 72 65 70 |o a bisp|inor.rep|
|00000b60| 72 65 73 65 6e 74 61 74 | 69 6f 6e 20 61 6e 64 20 |resentat|ion and |
|00000b70| 74 68 65 20 63 61 6c 63 | 75 6c 61 74 69 6f 6e 73 |the calc|ulations|
|00000b80| 20 61 72 65 20 63 61 72 | 72 69 65 64 20 6f 75 74 | are car|ried out|
|00000b90| 20 0a 69 6e 20 61 20 6e | 6f 6e 72 65 6c 61 74 69 | .in a n|onrelati|
|00000ba0| 76 69 73 74 69 63 20 66 | 72 61 6d 65 2e 20 54 68 |vistic f|rame. Th|
|00000bb0| 65 20 73 69 6e 67 6c 65 | 2d 70 61 72 74 69 63 6c |e single|-particl|
|00000bc0| 65 20 77 61 76 65 66 75 | 6e 63 74 69 6f 6e 73 20 |e wavefu|nctions |
|00000bd0| 61 72 65 0a 72 65 70 72 | 65 73 65 6e 74 65 64 20 |are.repr|esented |
|00000be0| 62 79 20 6f 73 63 69 6c | 6c 61 74 6f 72 20 77 61 |by oscil|lator wa|
|00000bf0| 76 65 66 75 6e 63 74 69 | 6f 6e 73 20 61 6e 64 20 |vefuncti|ons and |
|00000c00| 74 68 65 20 65 66 66 65 | 63 74 20 6f 66 20 63 6f |the effe|ct of co|
|00000c10| 72 72 65 6c 61 74 69 6f | 6e 73 0a 61 72 65 20 69 |rrelatio|ns.are i|
|00000c20| 6e 63 6c 75 64 65 64 20 | 69 6e 20 74 65 72 6d 73 |ncluded |in terms|
|00000c30| 20 6f 66 20 61 20 73 69 | 6d 70 6c 65 20 6c 6f 63 | of a si|mple loc|
|00000c40| 61 6c 20 63 6f 72 72 65 | 6c 61 74 69 6f 6e 20 66 |al corre|lation f|
|00000c50| 75 6e 63 74 69 6f 6e 2e | 0a 0a 49 6e 20 74 68 65 |unction.|..In the|
|00000c60| 20 70 72 65 73 65 6e 74 | 20 77 6f 72 6b 20 77 65 | present| work we|
|00000c70| 20 77 61 6e 74 20 74 6f | 20 63 6f 6e 73 69 64 65 | want to| conside|
|00000c80| 72 20 74 68 65 20 72 65 | 6c 61 74 69 76 69 73 74 |r the re|lativist|
|00000c90| 69 63 20 66 65 61 74 75 | 72 65 73 2c 20 74 68 65 |ic featu|res, the|
|00000ca0| 0a 65 66 66 65 63 74 73 | 20 6f 66 20 63 6f 72 72 |.effects| of corr|
|00000cb0| 65 6c 61 74 69 6f 6e 73 | 20 61 6e 64 20 74 68 65 |elations| and the|
|00000cc0| 20 73 69 6e 67 6c 65 2d | 70 61 72 74 69 63 6c 65 | single-|particle|
|00000cd0| 20 77 61 76 65 66 75 6e | 63 74 69 6f 6e 73 0a 63 | wavefun|ctions.c|
|00000ce0| 6f 6e 73 69 73 74 65 6e | 74 6c 79 2e 20 46 6f 72 |onsisten|tly. For|
|00000cf0| 20 74 68 61 74 20 70 75 | 72 70 6f 73 65 20 77 65 | that pu|rpose we|
|00000d00| 20 65 6d 70 6c 6f 79 20 | 74 68 65 20 72 65 73 75 | employ |the resu|
|00000d10| 6c 74 73 20 6f 66 20 74 | 68 65 0a 72 65 6c 61 74 |lts of t|he.relat|
|00000d20| 69 76 69 73 74 69 63 20 | 44 69 72 61 63 20 42 72 |ivistic |Dirac Br|
|00000d30| 75 65 63 6b 6e 65 72 20 | 48 61 72 74 72 65 65 20 |ueckner |Hartree |
|00000d40| 46 6f 63 6b 20 28 44 42 | 48 46 29 20 63 61 6c 63 |Fock (DB|HF) calc|
|00000d50| 75 6c 61 74 69 6f 6e 73 | 20 6f 66 20 72 65 66 2e |ulations| of ref.|
|00000d60| 0a 5c 63 69 74 65 7b 31 | 30 7d 2e 20 54 68 65 73 |.\cite{1|0}. Thes|
|00000d70| 65 20 63 61 6c 63 75 6c | 61 74 69 6f 6e 73 20 61 |e calcul|ations a|
|00000d80| 72 65 20 62 61 73 65 64 | 20 6f 6e 20 74 68 65 20 |re based| on the |
|00000d90| 76 65 72 73 69 6f 6e 20 | 24 41 24 20 6f 66 20 74 |version |$A$ of t|
|00000da0| 68 65 0a 72 65 6c 61 74 | 69 76 69 73 74 69 63 20 |he.relat|ivistic |
|00000db0| 4f 6e 65 2d 42 6f 73 6f | 6e 2d 45 78 63 68 61 6e |One-Boso|n-Exchan|
|00000dc0| 67 65 20 70 6f 74 65 6e | 74 69 61 6c 20 6f 66 20 |ge poten|tial of |
|00000dd0| 5c 63 69 74 65 7b 72 75 | 70 72 7d 2e 20 54 68 65 |\cite{ru|pr}. The|
|00000de0| 20 72 65 73 75 6c 74 73 | 0a 6f 66 20 74 68 65 20 | results|.of the |
|00000df0| 63 61 6c 63 75 6c 61 74 | 69 6f 6e 20 6f 66 20 74 |calculat|ion of t|
|00000e00| 68 65 20 67 72 6f 75 6e | 64 2d 73 74 61 74 65 20 |he groun|d-state |
|00000e10| 70 72 6f 70 65 72 74 69 | 65 73 20 6f 66 20 64 6f |properti|es of do|
|00000e20| 75 62 6c 65 0a 63 6c 6f | 73 65 64 2d 73 68 65 6c |uble.clo|sed-shel|
|00000e30| 6c 20 6e 75 63 6c 65 69 | 20 61 72 65 20 69 6e 20 |l nuclei| are in |
|00000e40| 67 6f 6f 64 20 61 67 72 | 65 65 6d 65 6e 74 20 77 |good agr|eement w|
|00000e50| 69 74 68 20 74 68 65 20 | 65 78 70 65 72 69 6d 65 |ith the |experime|
|00000e60| 6e 74 61 6c 20 64 61 74 | 61 0a 61 6e 64 20 74 68 |ntal dat|a.and th|
|00000e70| 65 20 72 65 73 75 6c 74 | 69 6e 67 20 73 65 6c 66 |e result|ing self|
|00000e80| 2d 65 6e 65 72 67 79 20 | 79 69 65 6c 64 73 20 61 |-energy |yields a|
|00000e90| 20 72 65 61 6c 20 70 61 | 72 74 20 66 6f 72 20 74 | real pa|rt for t|
|00000ea0| 68 65 20 6f 70 74 69 63 | 61 6c 0a 70 6f 74 65 6e |he optic|al.poten|
|00000eb0| 74 69 61 6c 20 6f 66 20 | 6c 6f 77 2d 65 6e 65 72 |tial of |low-ener|
|00000ec0| 67 79 20 6e 75 63 6c 65 | 6f 6e 20 6e 75 63 6c 65 |gy nucle|on nucle|
|00000ed0| 75 73 20 73 63 61 74 74 | 65 72 69 6e 67 2c 20 77 |us scatt|ering, w|
|00000ee0| 68 69 63 68 20 69 73 20 | 63 6c 6f 73 65 20 74 6f |hich is |close to|
|00000ef0| 0a 74 68 65 20 65 6d 70 | 69 72 69 63 61 6c 20 61 |.the emp|irical a|
|00000f00| 6e 61 6c 79 73 69 73 20 | 5c 63 69 74 65 7b 6b 6c |nalysis |\cite{kl|
|00000f10| 65 69 6e 7d 2e 0a 0a 41 | 66 74 65 72 20 74 68 69 |ein}...A|fter thi|
|00000f20| 73 20 73 68 6f 72 74 20 | 69 6e 74 72 6f 64 75 63 |s short |introduc|
|00000f30| 74 69 6f 6e 20 77 65 20 | 77 69 6c 6c 20 72 65 76 |tion we |will rev|
|00000f40| 69 65 77 20 74 68 65 20 | 70 65 72 74 75 72 62 61 |iew the |perturba|
|00000f50| 74 69 76 65 20 74 72 65 | 61 74 6d 65 6e 74 0a 6f |tive tre|atment.o|
|00000f60| 66 20 74 68 65 20 68 65 | 61 76 79 20 6d 65 73 6f |f the he|avy meso|
|00000f70| 6e 20 65 78 63 68 61 6e | 67 65 20 63 75 72 72 65 |n exchan|ge curre|
|00000f80| 6e 74 20 63 6f 6e 74 72 | 69 62 75 74 69 6f 6e 20 |nt contr|ibution |
|00000f90| 69 6e 20 6e 75 63 6c 65 | 61 72 20 6d 61 74 74 65 |in nucle|ar matte|
|00000fa0| 72 2e 20 54 68 65 0a 73 | 65 6c 66 2d 63 6f 6e 73 |r. The.s|elf-cons|
|00000fb0| 69 73 74 65 6e 74 20 44 | 42 48 46 20 63 61 6c 63 |istent D|BHF calc|
|00000fc0| 75 6c 61 74 69 6f 6e 73 | 20 61 72 65 20 64 69 73 |ulations| are dis|
|00000fd0| 63 75 73 73 65 64 20 69 | 6e 20 73 65 63 74 69 6f |cussed i|n sectio|
|00000fe0| 6e 20 33 2c 20 77 68 69 | 6c 65 0a 73 65 63 74 69 |n 3, whi|le.secti|
|00000ff0| 6f 6e 20 34 20 63 6f 6e | 74 61 69 6e 73 20 61 20 |on 4 con|tains a |
|00001000| 64 69 73 63 75 73 73 69 | 6f 6e 20 6f 66 20 74 68 |discussi|on of th|
|00001010| 65 20 6e 6f 6e 2d 72 65 | 6c 61 74 69 76 69 73 74 |e non-re|lativist|
|00001020| 69 63 20 72 65 64 75 63 | 74 69 6f 6e 2e 20 54 68 |ic reduc|tion. Th|
|00001030| 65 0a 72 65 73 75 6c 74 | 73 20 61 72 65 20 70 72 |e.result|s are pr|
|00001040| 65 73 65 6e 74 65 64 20 | 61 6e 64 20 64 69 73 63 |esented |and disc|
|00001050| 75 73 73 65 64 20 69 6e | 20 73 65 63 74 69 6f 6e |ussed in| section|
|00001060| 20 35 20 61 6e 64 20 74 | 68 65 20 66 69 6e 61 6c | 5 and t|he final|
|00001070| 20 73 65 63 74 69 6f 6e | 0a 73 75 6d 6d 61 72 69 | section|.summari|
|00001080| 7a 65 73 20 74 68 65 20 | 6d 61 69 6e 20 63 6f 6e |zes the |main con|
|00001090| 63 6c 75 73 69 6f 6e 73 | 2e 0a 0a 5c 73 65 63 74 |clusions|...\sect|
|000010a0| 69 6f 6e 7b 50 65 72 74 | 75 72 62 61 74 69 76 65 |ion{Pert|urbative|
|000010b0| 20 72 65 6e 6f 72 6d 61 | 6c 69 7a 61 74 69 6f 6e | renorma|lization|
|000010c0| 20 6f 66 20 74 68 65 20 | 61 78 69 61 6c 20 63 68 | of the |axial ch|
|000010d0| 61 72 67 65 20 69 6e 20 | 61 20 72 65 6c 61 74 69 |arge in |a relati|
|000010e0| 76 69 73 74 69 63 0a 61 | 70 70 72 6f 61 63 68 2e |vistic.a|pproach.|
|000010f0| 7d 0a 0a 41 20 72 65 61 | 6c 69 73 74 69 63 20 24 |}..A rea|listic $|
|00001100| 4e 4e 24 20 69 6e 74 65 | 72 61 63 74 69 6f 6e 20 |NN$ inte|raction |
|00001110| 63 6f 6e 74 61 69 6e 73 | 20 61 20 6c 61 72 67 65 |contains| a large|
|00001120| 20 61 74 74 72 61 63 74 | 69 76 65 20 73 63 61 6c | attract|ive scal|
|00001130| 61 72 0a 69 73 6f 73 63 | 61 6c 61 72 20 63 6f 6d |ar.isosc|alar com|
|00001140| 70 6f 6e 65 6e 74 20 28 | 64 75 65 20 74 6f 20 24 |ponent (|due to $|
|00001150| 5c 73 69 67 6d 61 24 2d | 65 78 63 68 61 6e 67 65 |\sigma$-|exchange|
|00001160| 20 69 6e 20 4f 42 45 20 | 6d 6f 64 65 6c 29 20 61 | in OBE |model) a|
|00001170| 6e 64 20 61 0a 72 65 70 | 75 6c 73 69 76 65 20 76 |nd a.rep|ulsive v|
|00001180| 65 63 74 6f 72 20 69 73 | 6f 76 65 63 74 6f 72 20 |ector is|ovector |
|00001190| 63 6f 6d 70 6f 6e 65 6e | 74 20 28 24 5c 6f 6d 65 |componen|t ($\ome|
|000011a0| 67 61 24 2d 65 78 63 68 | 61 6e 67 65 29 2e 20 45 |ga$-exch|ange). E|
|000011b0| 76 61 6c 75 61 74 69 6e | 67 0a 74 68 65 20 73 65 |valuatin|g.the se|
|000011c0| 6c 66 65 6e 65 72 67 79 | 20 6f 66 20 61 20 6e 75 |lfenergy| of a nu|
|000011d0| 63 6c 65 6f 6e 20 69 6e | 20 61 20 6d 65 64 69 75 |cleon in| a mediu|
|000011e0| 6d 20 6f 66 20 6e 75 63 | 6c 65 61 72 20 6d 61 74 |m of nuc|lear mat|
|000011f0| 74 65 72 20 77 69 74 68 | 20 73 75 63 68 20 61 6e |ter with| such an|
|00001200| 0a 69 6e 74 65 72 61 63 | 74 69 6f 6e 20 75 73 69 |.interac|tion usi|
|00001210| 6e 67 20 74 68 65 20 6d | 65 61 6e 20 66 69 65 6c |ng the m|ean fiel|
|00001220| 64 20 61 70 70 72 6f 78 | 69 6d 61 74 69 6f 6e 2c |d approx|imation,|
|00001230| 20 6f 6e 65 20 66 69 6e | 64 73 20 74 68 61 74 20 | one fin|ds that |
|00001240| 69 74 0a 63 6f 6e 74 61 | 69 6e 73 20 61 20 6c 61 |it.conta|ins a la|
|00001250| 72 67 65 20 61 74 74 72 | 61 63 74 69 76 65 20 73 |rge attr|active s|
|00001260| 63 61 6c 61 72 20 63 6f | 6d 70 6f 6e 65 6e 74 20 |calar co|mponent |
|00001270| 61 6e 64 20 61 20 72 65 | 70 75 6c 73 69 76 65 20 |and a re|pulsive |
|00001280| 63 6f 6d 70 6f 6e 65 6e | 74 2c 0a 77 68 69 63 68 |componen|t,.which|
|00001290| 20 75 6e 64 65 72 20 4c | 6f 72 65 6e 74 7a 20 74 | under L|orentz t|
|000012a0| 72 61 6e 73 66 6f 72 6d | 61 74 69 6f 6e 20 74 72 |ransform|ation tr|
|000012b0| 61 6e 73 66 6f 72 6d 73 | 20 6c 69 6b 65 20 74 68 |ansforms| like th|
|000012c0| 65 20 74 69 6d 65 6c 69 | 6b 65 0a 63 6f 6d 70 6f |e timeli|ke.compo|
|000012d0| 6e 65 6e 74 20 6f 66 20 | 61 20 76 65 63 74 6f 72 |nent of |a vector|
|000012e0| 20 5c 63 69 74 65 7b 32 | 7d 0a 0a 5c 62 65 67 69 | \cite{2|}..\begi|
|000012f0| 6e 7b 65 71 75 61 74 69 | 6f 6e 7d 0a 5c 53 69 67 |n{equati|on}.\Sig|
|00001300| 6d 61 20 20 3d 20 5c 53 | 69 67 6d 61 5e 7b 73 7d |ma = \S|igma^{s}|
|00001310| 5c 66 72 61 63 7b 20 5c | 72 68 6f 20 7d 7b 5c 72 |\frac{ \|rho }{\r|
|00001320| 68 6f 5f 7b 30 7d 7d 20 | 2b 20 5c 53 69 67 6d 61 |ho_{0}} |+ \Sigma|
|00001330| 20 5e 7b 76 7d 5c 67 61 | 6d 6d 61 5e 7b 30 7d 20 | ^{v}\ga|mma^{0} |
|00001340| 0a 5c 66 72 61 63 7b 20 | 5c 72 68 6f 20 7d 7b 5c |.\frac{ |\rho }{\|
|00001350| 72 68 6f 5f 7b 30 7d 7d | 20 5c 6c 61 62 65 6c 7b |rho_{0}}| \label{|
|00001360| 73 65 6c 66 7d 0a 5c 65 | 6e 64 7b 65 71 75 61 74 |self}.\e|nd{equat|
|00001370| 69 6f 6e 7d 0a 0a 5c 6e | 6f 69 6e 64 65 6e 74 0a |ion}..\n|oindent.|
|00001380| 77 69 74 68 20 24 5c 72 | 68 6f 24 20 74 68 65 20 |with $\r|ho$ the |
|00001390| 6e 75 63 6c 65 61 72 20 | 64 65 6e 73 69 74 79 20 |nuclear |density |
|000013a0| 61 6e 64 20 24 5c 72 68 | 6f 5f 7b 30 7d 24 20 74 |and $\rh|o_{0}$ t|
|000013b0| 68 65 20 73 61 74 75 72 | 61 74 69 6f 6e 20 64 65 |he satur|ation de|
|000013c0| 6e 73 69 74 79 0a 6f 66 | 20 6e 75 63 6c 65 61 72 |nsity.of| nuclear|
|000013d0| 20 6d 61 74 74 65 72 20 | 24 28 5c 72 68 6f 5f 7b | matter |$(\rho_{|
|000013e0| 30 7d 20 3d 20 30 2e 31 | 37 20 66 6d 5e 7b 2d 33 |0} = 0.1|7 fm^{-3|
|000013f0| 7d 29 24 2e 20 54 61 6b | 69 6e 67 20 69 6e 74 6f |})$. Tak|ing into|
|00001400| 20 61 63 63 6f 75 6e 74 | 20 74 68 65 0a 46 6f 63 | account| the.Foc|
|00001410| 6b 2d 65 78 63 68 61 6e | 67 65 20 74 65 72 6d 73 |k-exchan|ge terms|
|00001420| 20 69 6e 20 74 68 65 20 | 48 61 72 74 72 65 65 2d | in the |Hartree-|
|00001430| 46 6f 63 6b 20 61 70 70 | 72 6f 78 69 6d 61 74 69 |Fock app|roximati|
|00001440| 6f 6e 20 6f 72 20 61 63 | 63 6f 75 6e 74 69 6e 67 |on or ac|counting|
|00001450| 20 66 6f 72 0a 63 6f 72 | 72 65 6c 61 74 69 6f 6e | for.cor|relation|
|00001460| 20 65 66 66 65 63 74 73 | 20 69 6e 20 74 68 65 20 | effects| in the |
|00001470| 44 42 48 46 20 61 70 70 | 72 6f 78 69 6d 61 74 69 |DBHF app|roximati|
|00001480| 6f 6e 20 6f 6e 65 20 6f | 62 74 61 69 6e 73 20 61 |on one o|btains a|
|00001490| 20 73 6d 61 6c 6c 0a 73 | 70 61 63 65 6c 69 6b 65 | small.s|pacelike|
|000014a0| 20 76 65 63 74 6f 72 20 | 63 6f 6d 70 6f 6e 65 6e | vector |componen|
|000014b0| 74 20 61 6e 64 20 66 69 | 6e 64 73 20 74 68 61 74 |t and fi|nds that|
|000014c0| 20 61 6c 6c 20 74 68 65 | 20 74 65 72 6d 73 20 64 | all the| terms d|
|000014d0| 65 70 65 6e 64 20 73 6c | 69 67 68 74 6c 79 0a 6f |epend sl|ightly.o|
|000014e0| 6e 20 74 68 65 20 6d 6f | 6d 65 6e 74 75 6d 20 6f |n the mo|mentum o|
|000014f0| 66 20 74 68 65 20 6e 75 | 63 6c 65 6f 6e 20 5c 63 |f the nu|cleon \c|
|00001500| 69 74 65 7b 31 30 7d 2e | 20 57 65 20 6e 6f 77 20 |ite{10}.| We now |
|00001510| 77 61 6e 74 20 74 6f 20 | 63 61 6c 63 75 6c 61 74 |want to |calculat|
|00001520| 65 20 6d 61 74 72 69 78 | 0a 65 6c 65 6d 65 6e 74 |e matrix|.element|
|00001530| 73 20 66 6f 72 20 74 68 | 65 20 61 78 69 61 6c 20 |s for th|e axial |
|00001540| 6f 70 65 72 61 74 6f 72 | 20 24 67 5f 7b 41 7d 20 |operator| $g_{A} |
|00001550| 5c 67 61 6d 6d 61 5e 7b | 5c 6d 75 7d 20 5c 67 61 |\gamma^{|\mu} \ga|
|00001560| 6d 6d 61 5f 7b 35 7d 24 | 2c 0a 63 6f 6e 63 65 6e |mma_{5}$|,.concen|
|00001570| 74 72 61 74 69 6e 67 20 | 6f 6e 20 74 68 65 20 61 |trating |on the a|
|00001580| 78 69 61 6c 20 63 68 61 | 72 67 65 20 24 67 5f 7b |xial cha|rge $g_{|
|00001590| 41 7d 20 5c 67 61 6d 6d | 61 5e 7b 30 7d 20 5c 67 |A} \gamm|a^{0} \g|
|000015a0| 61 6d 6d 61 5f 7b 35 7d | 24 20 66 6f 72 0a 6e 75 |amma_{5}|$ for.nu|
|000015b0| 63 6c 65 6f 6e 73 20 6d | 6f 76 69 6e 67 20 69 6e |cleons m|oving in|
|000015c0| 20 74 68 65 20 6e 75 63 | 6c 65 61 72 20 6d 65 64 | the nuc|lear med|
|000015d0| 69 75 6d 2e 0a 57 65 20 | 63 61 6e 20 69 6d 6d 65 |ium..We |can imme|
|000015e0| 64 69 61 74 65 6c 79 20 | 77 72 69 74 65 20 74 68 |diately |write th|
|000015f0| 65 20 70 65 72 74 75 72 | 62 61 74 69 76 65 20 63 |e pertur|bative c|
|00001600| 6f 72 72 65 63 74 69 6f | 6e 73 20 74 6f 20 74 68 |orrectio|ns to th|
|00001610| 65 20 61 78 69 61 6c 20 | 63 68 61 72 67 65 0a 64 |e axial |charge.d|
|00001620| 75 65 20 74 6f 20 74 68 | 65 20 6e 75 63 6c 65 6f |ue to th|e nucleo|
|00001630| 6e 20 73 65 6c 66 65 6e | 65 72 67 79 2c 20 77 68 |n selfen|ergy, wh|
|00001640| 69 63 68 20 61 72 65 20 | 64 65 70 69 63 74 65 64 |ich are |depicted|
|00001650| 20 64 69 61 67 72 61 6d | 61 74 69 63 61 6c 6c 79 | diagram|atically|
|00001660| 20 69 6e 20 66 69 67 2e | 0a 31 2c 0a 77 68 65 72 | in fig.|.1,.wher|
|00001670| 65 20 77 65 20 68 61 76 | 65 20 73 65 70 61 72 61 |e we hav|e separa|
|00001680| 74 65 64 20 74 68 65 20 | 63 6f 6e 74 72 69 62 75 |ted the |contribu|
|00001690| 74 69 6f 6e 20 66 72 6f | 6d 20 70 6f 73 69 74 69 |tion fro|m positi|
|000016a0| 76 65 20 61 6e 64 20 6e | 65 67 61 74 69 76 65 20 |ve and n|egative |
|000016b0| 0a 69 6e 74 65 72 6d 65 | 64 69 61 74 65 20 73 74 |.interme|diate st|
|000016c0| 61 74 65 73 20 69 6e 20 | 74 68 65 20 6e 75 63 6c |ates in |the nucl|
|000016d0| 65 6f 6e 20 70 72 6f 70 | 61 67 61 74 6f 72 2e 20 |eon prop|agator. |
|000016e0| 41 6e 61 6c 79 74 69 63 | 61 6c 6c 79 20 74 68 69 |Analytic|ally thi|
|000016f0| 73 20 64 65 63 6f 6d 70 | 6f 73 69 74 69 6f 6e 0a |s decomp|osition.|
|00001700| 69 73 20 67 69 76 65 6e | 20 62 79 0a 0a 5c 62 65 |is given| by..\be|
|00001710| 67 69 6e 7b 65 71 75 61 | 74 69 6f 6e 7d 0a 5c 66 |gin{equa|tion}.\f|
|00001720| 72 61 63 7b 5c 67 64 6f | 74 7b 70 7d 20 2b 20 4d |rac{\gdo|t{p} + M|
|00001730| 7d 7b 70 5e 7b 32 7d 20 | 2d 20 4d 5e 7b 32 7d 7d |}{p^{2} |- M^{2}}|
|00001740| 20 3d 20 5c 66 72 61 63 | 7b 4d 7d 7b 45 28 5c 76 | = \frac|{M}{E(\v|
|00001750| 65 63 7b 70 7d 5c 3a 29 | 7d 20 5c 7b 0a 5c 66 72 |ec{p}\:)|} \{.\fr|
|00001760| 61 63 7b 5c 73 75 6d 5f | 7b 72 7d 20 75 5f 7b 72 |ac{\sum_|{r} u_{r|
|00001770| 7d 28 5c 76 65 63 7b 70 | 7d 5c 3a 29 20 5c 62 61 |}(\vec{p|}\:) \ba|
|00001780| 72 7b 75 7d 5f 7b 72 7d | 20 28 5c 76 65 63 7b 70 |r{u}_{r}| (\vec{p|
|00001790| 7d 5c 3a 29 7d 7b 70 5e | 7b 30 7d 20 2d 20 45 28 |}\:)}{p^|{0} - E(|
|000017a0| 5c 76 65 63 7b 70 7d 5c | 3a 29 0a 2b 20 69 20 5c |\vec{p}\|:).+ i \|
|000017b0| 65 70 73 69 6c 6f 6e 7d | 20 2b 20 5c 66 72 61 63 |epsilon}| + \frac|
|000017c0| 7b 5c 73 75 6d 5f 7b 72 | 7d 20 76 5f 7b 72 7d 28 |{\sum_{r|} v_{r}(|
|000017d0| 2d 5c 76 65 63 7b 70 7d | 5c 3a 29 20 5c 62 61 72 |-\vec{p}|\:) \bar|
|000017e0| 7b 76 7d 5f 7b 72 7d 28 | 2d 5c 76 65 63 7b 70 7d |{v}_{r}(|-\vec{p}|
|000017f0| 5c 3a 29 7d 0a 7b 70 5e | 7b 30 7d 20 2b 20 45 20 |\:)}.{p^|{0} + E |
|00001800| 28 5c 76 65 63 7b 70 7d | 5c 3a 29 20 2d 20 69 20 |(\vec{p}|\:) - i |
|00001810| 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e | 7d 20 5c 7d 0a 5c 65 6e |\epsilon|} \}.\en|
|00001820| 64 7b 65 71 75 61 74 69 | 6f 6e 7d 0a 0a 5c 6e 6f |d{equati|on}..\no|
|00001830| 69 6e 64 65 6e 74 0a 77 | 68 65 72 65 20 24 4d 2c |indent.w|here $M,|
|00001840| 20 45 20 28 5c 76 65 63 | 7b 70 7d 5c 3a 29 24 20 | E (\vec|{p}\:)$ |
|00001850| 61 72 65 20 74 68 65 20 | 6d 61 73 73 20 61 6e 64 |are the |mass and|
|00001860| 20 6f 6e 20 73 68 65 6c | 6c 20 65 6e 65 72 67 79 | on shel|l energy|
|00001870| 20 6f 66 20 74 68 65 20 | 66 72 65 65 0a 6e 75 63 | of the |free.nuc|
|00001880| 6c 65 6f 6e 20 61 6e 64 | 20 24 75 5f 7b 72 7d 2c |leon and| $u_{r},|
|00001890| 20 76 5f 7b 72 7d 24 20 | 74 68 65 20 6f 72 64 69 | v_{r}$ |the ordi|
|000018a0| 6e 61 72 79 20 66 72 65 | 65 20 73 70 69 6e 6f 72 |nary fre|e spinor|
|000018b0| 73 20 69 6e 20 4d 61 6e | 64 6c 2d 53 68 61 77 0a |s in Man|dl-Shaw.|
|000018c0| 72 65 70 72 65 73 65 6e | 74 61 74 69 6f 6e 20 5c |represen|tation \|
|000018d0| 63 69 74 65 7b 39 7d 2e | 0a 54 68 65 20 61 78 69 |cite{9}.|.The axi|
|000018e0| 61 6c 20 63 68 61 72 67 | 65 20 6d 61 74 72 69 78 |al charg|e matrix|
|000018f0| 20 65 6c 65 6d 65 6e 74 | 20 69 73 20 72 65 64 75 | element| is redu|
|00001900| 63 65 64 20 74 6f 20 61 | 20 62 69 73 70 69 6e 6f |ced to a| bispino|
|00001910| 72 20 72 65 70 72 65 73 | 65 6e 74 61 74 69 6f 6e |r repres|entation|
|00001920| 20 0a 61 73 73 75 6d 69 | 6e 67 20 24 45 28 5c 76 | .assumi|ng $E(\v|
|00001930| 65 63 7b 70 7d 5c 3a 29 | 20 5c 73 69 6d 65 71 20 |ec{p}\:)| \simeq |
|00001940| 4d 24 20 62 79 20 6d 65 | 61 6e 73 20 6f 66 0a 0a |M$ by me|ans of..|
|00001950| 5c 62 65 67 69 6e 7b 65 | 71 75 61 74 69 6f 6e 7d |\begin{e|quation}|
|00001960| 0a 5c 62 61 72 7b 75 7d | 20 28 5c 76 65 63 7b 70 |.\bar{u}| (\vec{p|
|00001970| 7d 5c 3a 27 29 20 5c 67 | 61 6d 6d 61 5e 7b 30 7d |}\:') \g|amma^{0}|
|00001980| 20 5c 67 61 6d 6d 61 5f | 7b 35 7d 20 75 28 5c 76 | \gamma_|{5} u(\v|
|00001990| 65 63 7b 70 7d 29 20 3d | 0a 5c 63 68 69 27 20 5c |ec{p}) =|.\chi' \|
|000019a0| 66 72 61 63 7b 5c 76 65 | 63 7b 5c 73 69 67 6d 61 |frac{\ve|c{\sigma|
|000019b0| 7d 28 5c 76 65 63 7b 70 | 7d 0a 2b 20 5c 76 65 63 |}(\vec{p|}.+ \vec|
|000019c0| 7b 70 7d 5c 3a 27 29 7d | 7b 32 4d 7d 20 5c 63 68 |{p}\:')}|{2M} \ch|
|000019d0| 69 20 5c 6c 61 62 65 6c | 7b 62 61 72 65 7d 0a 5c |i \label|{bare}.\|
|000019e0| 65 6e 64 7b 65 71 75 61 | 74 69 6f 6e 7d 0a 0a 4e |end{equa|tion}..N|
|000019f0| 6f 77 20 74 68 65 20 61 | 29 20 61 6e 64 20 62 29 |ow the a|) and b)|
|00001a00| 20 64 69 61 67 72 61 6d | 73 20 66 72 6f 6d 20 66 | diagram|s from f|
|00001a10| 69 67 2e 20 31 20 77 69 | 74 68 20 70 6f 73 69 74 |ig. 1 wi|th posit|
|00001a20| 69 76 65 20 69 6e 74 65 | 72 6d 65 64 69 61 74 65 |ive inte|rmediate|
|00001a30| 20 6e 75 63 6c 65 6f 6e | 0a 63 6f 6d 70 6f 6e 65 | nucleon|.compone|
|00001a40| 6e 74 73 20 61 72 65 20 | 61 75 74 6f 6d 61 74 69 |nts are |automati|
|00001a50| 63 61 6c 6c 79 20 61 62 | 73 6f 72 62 65 64 20 69 |cally ab|sorbed i|
|00001a60| 6e 74 6f 20 74 68 65 20 | 63 61 6c 63 75 6c 61 74 |nto the |calculat|
|00001a70| 69 6f 6e 20 77 69 74 68 | 20 64 72 65 73 73 65 64 |ion with| dressed|
|00001a80| 20 6e 6f 6e 0a 72 65 6c | 61 74 69 76 69 73 74 69 | non.rel|ativisti|
|00001a90| 63 20 77 61 76 65 20 66 | 75 6e 63 74 69 6f 6e 73 |c wave f|unctions|
|00001aa0| 20 62 75 74 20 67 65 6e | 75 69 6e 65 20 63 6f 72 | but gen|uine cor|
|00001ab0| 72 65 63 74 69 6f 6e 73 | 20 66 72 6f 6d 20 74 68 |rections| from th|
|00001ac0| 65 20 6e 65 67 61 74 69 | 76 65 20 0a 69 6e 74 65 |e negati|ve .inte|
|00001ad0| 72 6d 65 64 69 61 74 65 | 20 73 74 61 74 65 73 20 |rmediate| states |
|00001ae0| 63 29 20 61 6e 64 20 64 | 29 20 72 65 6d 61 69 6e |c) and d|) remain|
|00001af0| 2e 20 4f 6e 65 20 63 61 | 6e 20 65 61 73 69 6c 79 |. One ca|n easily|
|00001b00| 20 73 65 65 20 74 68 61 | 74 20 74 68 65 20 0a 72 | see tha|t the .r|
|00001b10| 65 6e 6f 72 6d 61 6c 69 | 7a 61 74 69 6f 6e 20 77 |enormali|zation w|
|00001b20| 69 74 68 20 74 68 65 20 | 24 5c 53 69 67 6d 61 20 |ith the |$\Sigma |
|00001b30| 5e 7b 76 7d 5c 67 61 6d | 6d 61 5e 7b 30 7d 24 20 |^{v}\gam|ma^{0}$ |
|00001b40| 74 65 72 6d 20 6f 66 20 | 28 5c 72 65 66 7b 73 65 |term of |(\ref{se|
|00001b50| 6c 66 7d 29 20 0a 76 61 | 6e 69 73 68 65 73 20 69 |lf}) .va|nishes i|
|00001b60| 64 65 6e 74 69 63 61 6c | 6c 79 0a 61 6e 64 20 6f |dentical|ly.and o|
|00001b70| 6e 6c 79 20 74 68 65 20 | 72 65 6e 6f 72 6d 61 6c |nly the |renormal|
|00001b80| 69 7a 61 74 69 6f 6e 20 | 77 69 74 68 20 74 68 65 |ization |with the|
|00001b90| 20 24 5c 53 69 67 6d 61 | 5e 7b 73 7d 24 20 74 65 | $\Sigma|^{s}$ te|
|00001ba0| 72 6d 20 72 65 6d 61 69 | 6e 73 2e 20 4f 6e 65 20 |rm remai|ns. One |
|00001bb0| 0a 69 6d 6d 65 64 69 61 | 74 65 6c 79 20 67 65 74 |.immedia|tely get|
|00001bc0| 73 20 61 20 72 65 6e 6f | 72 6d 61 6c 69 7a 65 64 |s a reno|rmalized|
|00001bd0| 20 61 78 69 61 6c 20 63 | 68 61 72 67 65 20 6d 61 | axial c|harge ma|
|00001be0| 74 72 69 78 20 65 6c 65 | 6d 65 6e 74 20 63 6f 72 |trix ele|ment cor|
|00001bf0| 72 65 73 70 6f 6e 64 69 | 6e 67 20 74 6f 0a 62 61 |respondi|ng to.ba|
|00001c00| 72 65 20 6d 61 74 72 69 | 78 20 65 6c 65 6d 65 6e |re matri|x elemen|
|00001c10| 74 20 70 6c 75 73 20 66 | 69 67 73 2e 20 31 63 20 |t plus f|igs. 1c |
|00001c20| 61 6e 64 20 31 64 20 67 | 69 76 65 6e 20 62 79 0a |and 1d g|iven by.|
|00001c30| 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b | 65 71 75 61 74 69 6f 6e |.\begin{|equation|
|00001c40| 7d 0a 67 5f 7b 41 7d 20 | 28 31 2d 20 5c 66 72 61 |}.g_{A} |(1- \fra|
|00001c50| 63 7b 5c 53 69 67 6d 61 | 5e 7b 73 7d 7d 7b 4d 7d |c{\Sigma|^{s}}{M}|
|00001c60| 20 5c 66 72 61 63 7b 5c | 72 68 6f 7d 7b 5c 72 68 | \frac{\|rho}{\rh|
|00001c70| 6f 5f 7b 30 7d 7d 29 20 | 5c 63 68 69 27 20 5c 66 |o_{0}}) |\chi' \f|
|00001c80| 72 61 63 7b 5c 76 65 63 | 7b 5c 73 69 67 6d 61 7d |rac{\vec|{\sigma}|
|00001c90| 0a 28 5c 76 65 63 7b 70 | 7d 20 2b 20 5c 76 65 63 |.(\vec{p|} + \vec|
|00001ca0| 7b 70 7d 5c 3a 27 29 7d | 7b 32 4d 7d 20 5c 63 68 |{p}\:')}|{2M} \ch|
|00001cb0| 69 20 5c 6c 61 62 65 6c | 7b 70 65 72 74 75 72 31 |i \label|{pertur1|
|00001cc0| 7d 0a 5c 65 6e 64 7b 65 | 71 75 61 74 69 6f 6e 7d |}.\end{e|quation}|
|00001cd0| 0a 0a 5c 6e 6f 69 6e 64 | 65 6e 74 0a 6f 72 20 65 |..\noind|ent.or e|
|00001ce0| 71 75 69 76 61 6c 65 6e | 74 6c 79 20 61 20 72 65 |quivalen|tly a re|
|00001cf0| 6e 6f 72 6d 61 6c 69 7a | 61 74 69 6f 6e 20 6f 66 |normaliz|ation of|
|00001d00| 20 74 68 65 20 61 78 69 | 61 6c 20 63 68 61 72 67 | the axi|al charg|
|00001d10| 65 20 62 79 20 74 68 65 | 20 61 6d 6f 75 6e 74 0a |e by the| amount.|
|00001d20| 5c 6d 62 6f 78 7b 0a 24 | 28 31 2d 20 5c 66 72 61 |\mbox{.$|(1- \fra|
|00001d30| 63 7b 5c 53 69 67 6d 61 | 5e 7b 73 7d 7d 7b 4d 7d |c{\Sigma|^{s}}{M}|
|00001d40| 20 5c 66 72 61 63 7b 5c | 72 68 6f 7d 7b 5c 72 68 | \frac{\|rho}{\rh|
|00001d50| 6f 5f 7b 30 7d 7d 29 24 | 7d 2e 20 0a 54 68 69 73 |o_{0}})$|}. .This|
|00001d60| 20 69 73 20 74 68 65 20 | 72 65 73 75 6c 74 20 0a | is the |result .|
|00001d70| 6f 62 74 61 69 6e 65 64 | 20 69 6e 0a 5c 63 69 74 |obtained| in.\cit|
|00001d80| 65 7b 37 7d 2e 0a 4e 6f | 74 65 20 74 68 61 74 20 |e{7}..No|te that |
|00001d90| 73 69 6e 63 65 20 74 68 | 65 20 72 65 6c 61 74 69 |since th|e relati|
|00001da0| 76 69 73 74 69 63 20 70 | 6f 74 65 6e 74 69 61 6c |vistic p|otential|
|00001db0| 20 6f 66 20 28 31 29 20 | 69 6d 70 6c 69 63 69 74 | of (1) |implicit|
|00001dc0| 6c 79 0a 61 63 63 6f 75 | 6e 74 73 20 66 6f 72 20 |ly.accou|nts for |
|00001dd0| 64 69 72 65 63 74 20 61 | 6e 64 20 65 78 63 68 61 |direct a|nd excha|
|00001de0| 6e 67 65 20 74 65 72 6d | 73 20 6e 6f 20 66 75 72 |nge term|s no fur|
|00001df0| 74 68 65 72 20 63 6f 72 | 72 65 63 74 69 6f 6e 73 |ther cor|rections|
|00001e00| 20 68 61 76 65 20 74 6f | 20 62 65 20 64 6f 6e 65 | have to| be done|
|00001e10| 0a 69 6e 20 63 6f 6e 74 | 72 61 73 74 20 74 6f 20 |.in cont|rast to |
|00001e20| 5c 63 69 74 65 7b 37 7d | 20 77 68 65 72 65 2c 20 |\cite{7}| where, |
|00001e30| 62 65 63 61 75 73 65 20 | 6f 6e 65 20 73 74 61 72 |because |one star|
|00001e40| 74 73 20 66 72 6f 6d 20 | 61 20 24 4e 4e 24 20 69 |ts from |a $NN$ i|
|00001e50| 6e 74 65 72 61 63 74 69 | 6f 6e 2c 0a 64 69 72 65 |nteracti|on,.dire|
|00001e60| 63 74 20 61 6e 64 20 65 | 78 63 68 61 6e 67 65 20 |ct and e|xchange |
|00001e70| 74 65 72 6d 73 20 61 72 | 65 20 65 78 70 6c 69 63 |terms ar|e explic|
|00001e80| 69 74 6c 79 20 65 76 61 | 6c 75 61 74 65 64 2e 20 |itly eva|luated. |
|00001e90| 57 69 74 68 20 73 74 61 | 6e 64 61 72 64 20 76 61 |With sta|ndard va|
|00001ea0| 6c 75 65 73 20 6f 66 0a | 24 5c 53 69 67 6d 61 5e |lues of.|$\Sigma^|
|00001eb0| 7b 73 7d 24 20 6f 66 20 | 74 68 65 20 6f 72 64 65 |{s}$ of |the orde|
|00001ec0| 72 20 6f 66 20 24 2d 34 | 30 30 20 4d 65 56 24 20 |r of $-4|00 MeV$ |
|00001ed0| 61 6e 64 20 74 61 6b 69 | 6e 67 20 24 5c 72 68 6f |and taki|ng $\rho|
|00001ee0| 20 5c 73 69 6d 65 71 20 | 5c 72 68 6f 5f 7b 30 7d | \simeq |\rho_{0}|
|00001ef0| 24 20 6f 6e 65 0a 6f 62 | 74 61 69 6e 73 20 61 20 |$ one.ob|tains a |
|00001f00| 72 65 6e 6f 72 6d 61 6c | 69 7a 61 74 69 6f 6e 20 |renormal|ization |
|00001f10| 66 61 63 74 6f 72 20 6f | 66 20 74 68 65 20 6f 72 |factor o|f the or|
|00001f20| 64 65 72 20 6f 66 20 31 | 2e 34 20 69 6e 20 71 75 |der of 1|.4 in qu|
|00001f30| 61 6c 69 74 61 74 69 76 | 65 20 61 67 72 65 65 6d |alitativ|e agreem|
|00001f40| 65 6e 74 0a 77 69 74 68 | 20 5c 63 69 74 65 7b 37 |ent.with| \cite{7|
|00001f50| 2c 38 7d 2e 0a 0a 41 6e | 6f 74 68 65 72 20 77 61 |,8}...An|other wa|
|00001f60| 79 20 74 6f 20 61 72 72 | 69 76 65 20 61 74 20 65 |y to arr|ive at e|
|00001f70| 71 2e 28 5c 72 65 66 7b | 70 65 72 74 75 72 31 7d |q.(\ref{|pertur1}|
|00001f80| 29 20 69 73 20 74 6f 20 | 72 65 61 6c 69 7a 65 20 |) is to |realize |
|00001f90| 74 68 61 74 20 74 68 65 | 0a 73 6f 6c 75 74 69 6f |that the|.solutio|
|00001fa0| 6e 20 6f 66 20 74 68 65 | 20 44 69 72 61 63 20 65 |n of the| Dirac e|
|00001fb0| 71 75 61 74 69 6f 6e 20 | 66 6f 72 20 77 69 74 68 |quation |for with|
|00001fc0| 20 61 20 73 65 6c 66 65 | 6e 65 72 67 79 20 6f 66 | a selfe|nergy of|
|00001fd0| 20 74 68 65 20 6b 69 6e | 64 0a 64 69 73 70 6c 61 | the kin|d.displa|
|00001fe0| 79 65 64 20 69 6e 20 65 | 71 2e 28 5c 72 65 66 7b |yed in e|q.(\ref{|
|00001ff0| 73 65 6c 66 7d 29 20 79 | 69 65 6c 64 73 20 44 69 |self}) y|ields Di|
|00002000| 72 61 63 20 73 70 69 6e | 6f 72 73 20 66 6f 72 20 |rac spin|ors for |
|00002010| 74 68 65 20 6e 75 63 6c | 65 6f 6e 73 20 69 6e 0a |the nucl|eons in.|
|00002020| 74 68 65 20 6e 75 63 6c | 65 61 72 20 6d 65 64 69 |the nucl|ear medi|
|00002030| 75 6d 2c 20 77 68 69 63 | 68 20 61 72 65 20 69 64 |um, whic|h are id|
|00002040| 65 6e 74 69 63 61 6c 20 | 74 6f 20 44 69 72 61 63 |entical |to Dirac|
|00002050| 20 73 70 69 6e 6f 72 73 | 20 6f 66 20 66 72 65 65 | spinors| of free|
|00002060| 0a 6e 75 63 6c 65 6f 6e | 73 2c 20 65 78 63 65 70 |.nucleon|s, excep|
|00002070| 74 20 74 68 61 74 20 74 | 68 65 20 6d 61 73 73 20 |t that t|he mass |
|00002080| 6f 66 20 74 68 65 20 6e | 75 63 6c 65 6f 6e 20 24 |of the n|ucleon $|
|00002090| 4d 24 20 68 61 73 20 74 | 6f 20 62 65 20 72 65 70 |M$ has t|o be rep|
|000020a0| 6c 61 63 65 64 20 62 79 | 0a 61 6e 20 65 66 66 65 |laced by|.an effe|
|000020b0| 63 74 69 76 65 20 6d 61 | 73 73 20 24 4d 5e 2a 3d |ctive ma|ss $M^*=|
|000020c0| 4d 2b 5c 53 69 67 6d 61 | 5e 7b 73 7d 5c 72 68 6f |M+\Sigma|^{s}\rho|
|000020d0| 20 2f 20 5c 72 68 6f 5f | 7b 30 7d 24 2e 20 43 61 | / \rho_|{0}$. Ca|
|000020e0| 6c 63 75 6c 61 74 69 6e | 67 20 74 68 65 0a 6d 61 |lculatin|g the.ma|
|000020f0| 74 72 69 78 20 65 6c 65 | 6d 65 6e 74 20 66 6f 72 |trix ele|ment for|
|00002100| 20 74 68 65 20 61 78 69 | 61 6c 20 63 68 61 72 67 | the axi|al charg|
|00002110| 65 20 6f 70 65 72 61 74 | 6f 72 20 77 69 74 68 20 |e operat|or with |
|00002120| 74 68 65 73 65 20 64 72 | 65 73 73 65 64 20 44 69 |these dr|essed Di|
|00002130| 72 61 63 0a 73 70 69 6e | 6f 72 73 20 61 6e 64 20 |rac.spin|ors and |
|00002140| 72 65 64 75 63 69 6e 67 | 20 69 74 20 74 6f 20 61 |reducing| it to a|
|00002150| 20 62 69 73 70 69 6e 6f | 72 20 72 65 70 72 65 73 | bispino|r repres|
|00002160| 65 6e 74 61 74 69 6f 6e | 20 6f 6e 65 20 66 69 6e |entation| one fin|
|00002170| 64 73 20 61 73 20 69 6e | 0a 65 71 2e 28 5c 72 65 |ds as in|.eq.(\re|
|00002180| 66 7b 62 61 72 65 7d 29 | 0a 0a 5c 62 65 67 69 6e |f{bare})|..\begin|
|00002190| 7b 65 71 6e 61 72 72 61 | 79 7d 0a 5c 62 61 72 7b |{eqnarra|y}.\bar{|
|000021a0| 5c 74 69 6c 64 65 20 75 | 7d 20 28 70 27 29 20 5c |\tilde u|} (p') \|
|000021b0| 67 61 6d 6d 61 5e 7b 30 | 7d 20 5c 67 61 6d 6d 61 |gamma^{0|} \gamma|
|000021c0| 5f 7b 35 7d 20 5c 74 69 | 6c 64 65 20 75 28 70 29 |_{5} \ti|lde u(p)|
|000021d0| 20 26 20 3d 20 26 5c 63 | 68 69 27 0a 5c 66 72 61 | & = &\c|hi'.\fra|
|000021e0| 63 7b 5c 76 65 63 7b 5c | 73 69 67 6d 61 7d 28 5c |c{\vec{\|sigma}(\|
|000021f0| 76 65 63 7b 70 7d 20 2b | 20 5c 76 65 63 7b 70 7d |vec{p} +| \vec{p}|
|00002200| 5c 3a 27 29 7d 7b 32 5c | 6c 65 66 74 28 4d 2b 5c |\:')}{2\|left(M+\|
|00002210| 53 69 67 6d 61 5e 7b 73 | 7d 5c 66 72 61 63 7b 5c |Sigma^{s|}\frac{\|
|00002220| 72 68 6f 7d 7b 0a 5c 72 | 68 6f 5f 7b 30 7d 7d 5c |rho}{.\r|ho_{0}}\|
|00002230| 72 69 67 68 74 29 20 7d | 20 5c 63 68 69 20 5c 6e |right) }| \chi \n|
|00002240| 6f 6e 75 6d 62 65 72 5c | 5c 0a 26 20 3d 20 20 26 |onumber\|\.& = &|
|00002250| 5c 6c 65 66 74 5b 31 2d | 20 5c 66 72 61 63 7b 5c |\left[1-| \frac{\|
|00002260| 53 69 67 6d 61 5e 7b 73 | 7d 7d 7b 4d 7d 20 5c 66 |Sigma^{s|}}{M} \f|
|00002270| 72 61 63 7b 5c 72 68 6f | 7d 7b 5c 72 68 6f 5f 7b |rac{\rho|}{\rho_{|
|00002280| 30 7d 7d 2b 20 5c 6c 65 | 66 74 28 0a 5c 66 72 61 |0}}+ \le|ft(.\fra|
|00002290| 63 7b 5c 53 69 67 6d 61 | 5e 7b 73 7d 7d 7b 4d 7d |c{\Sigma|^{s}}{M}|
|000022a0| 20 5c 66 72 61 63 7b 5c | 72 68 6f 7d 7b 5c 72 68 | \frac{\|rho}{\rh|
|000022b0| 6f 5f 7b 30 7d 7d 5c 72 | 69 67 68 74 29 5e 32 20 |o_{0}}\r|ight)^2 |
|000022c0| 2b 20 5c 63 64 6f 74 73 | 20 5c 72 69 67 68 74 5d |+ \cdots| \right]|
|000022d0| 0a 5c 63 68 69 27 20 5c | 66 72 61 63 7b 5c 76 65 |.\chi' \|frac{\ve|
|000022e0| 63 7b 5c 73 69 67 6d 61 | 7d 20 28 5c 76 65 63 7b |c{\sigma|} (\vec{|
|000022f0| 70 7d 20 2b 20 5c 76 65 | 63 7b 70 7d 5c 3a 27 29 |p} + \ve|c{p}\:')|
|00002300| 7d 7b 32 4d 7d 20 5c 63 | 68 69 0a 5c 6c 61 62 65 |}{2M} \c|hi.\labe|
|00002310| 6c 7b 70 65 72 74 75 72 | 32 7d 0a 5c 65 6e 64 7b |l{pertur|2}.\end{|
|00002320| 65 71 6e 61 72 72 61 79 | 7d 0a 49 74 20 73 68 6f |eqnarray|}.It sho|
|00002330| 75 6c 64 20 62 65 20 6e | 6f 74 65 64 20 74 68 61 |uld be n|oted tha|
|00002340| 74 20 74 68 69 73 20 6e | 6f 6e 2d 70 65 72 74 75 |t this n|on-pertu|
|00002350| 72 62 61 74 69 76 65 20 | 74 72 65 61 74 6d 65 6e |rbative |treatmen|
|00002360| 74 20 6f 66 20 74 68 65 | 0a 74 68 65 20 68 65 61 |t of the|.the hea|
|00002370| 76 79 20 6d 65 73 6f 6e | 20 65 78 63 68 61 6e 67 |vy meson| exchang|
|00002380| 65 20 63 75 72 72 65 6e | 74 20 63 6f 6e 74 72 69 |e curren|t contri|
|00002390| 62 75 74 69 6f 6e 20 74 | 6f 20 74 68 65 20 72 65 |bution t|o the re|
|000023a0| 6e 6f 72 6d 61 6c 69 7a | 61 74 69 6f 6e 20 6f 66 |normaliz|ation of|
|000023b0| 0a 74 68 65 20 61 78 69 | 61 6c 20 63 68 61 72 67 |.the axi|al charg|
|000023c0| 65 20 79 69 65 6c 64 73 | 20 61 6e 20 65 66 66 65 |e yields| an effe|
|000023d0| 63 74 20 77 68 69 63 68 | 20 69 73 20 63 6f 6e 73 |ct which| is cons|
|000023e0| 69 64 65 72 61 62 6c 79 | 20 6c 61 72 67 65 72 20 |iderably| larger |
|000023f0| 74 68 61 6e 0a 74 68 65 | 20 70 65 72 74 75 72 62 |than.the| perturb|
|00002400| 61 74 69 76 65 20 74 72 | 65 61 74 6d 65 6e 74 20 |ative tr|eatment |
|00002410| 6f 66 20 65 71 2e 28 5c | 72 65 66 7b 70 65 72 74 |of eq.(\|ref{pert|
|00002420| 75 72 31 7d 29 2e 20 55 | 73 69 6e 67 20 61 67 61 |ur1}). U|sing aga|
|00002430| 69 6e 20 24 5c 53 69 67 | 6d 61 5e 7b 73 7d 0a 20 |in $\Sig|ma^{s}. |
|00002440| 3d 20 2d 34 30 30 20 4d | 65 56 24 20 61 6e 64 20 |= -400 M|eV$ and |
|00002450| 74 61 6b 69 6e 67 20 24 | 5c 72 68 6f 20 5c 73 69 |taking $|\rho \si|
|00002460| 6d 65 71 20 5c 72 68 6f | 5f 7b 30 7d 24 20 6f 6e |meq \rho|_{0}$ on|
|00002470| 65 20 6f 62 74 61 69 6e | 73 20 61 20 66 61 63 74 |e obtain|s a fact|
|00002480| 6f 72 20 6f 66 0a 31 2e | 37 20 72 61 74 68 65 72 |or of.1.|7 rather|
|00002490| 20 74 68 61 6e 20 31 2e | 34 20 28 73 65 65 20 61 | than 1.|4 (see a|
|000024a0| 62 6f 76 65 29 2e 0a 0a | 5c 73 65 63 74 69 6f 6e |bove)...|\section|
|000024b0| 7b 46 69 6e 69 74 65 20 | 6e 75 63 6c 65 69 20 72 |{Finite |nuclei r|
|000024c0| 65 6e 6f 72 6d 61 6c 69 | 7a 61 74 69 6f 6e 2e 7d |enormali|zation.}|
|000024d0| 0a 0a 53 6f 6c 76 69 6e | 67 20 74 68 65 20 44 69 |..Solvin|g the Di|
|000024e0| 72 61 63 20 65 71 75 61 | 74 69 6f 6e 20 64 69 72 |rac equa|tion dir|
|000024f0| 65 63 74 6c 79 20 66 6f | 72 20 74 68 65 20 66 69 |ectly fo|r the fi|
|00002500| 6e 69 74 65 20 6e 75 63 | 6c 65 75 73 20 74 68 65 |nite nuc|leus the|
|00002510| 20 64 69 61 67 72 61 6d | 73 0a 69 6e 20 66 69 67 | diagram|s.in fig|
|00002520| 2e 20 31 20 70 6c 75 73 | 20 61 6c 6c 20 74 65 72 |. 1 plus| all ter|
|00002530| 6d 73 20 6f 66 20 68 69 | 67 68 65 72 20 6f 72 64 |ms of hi|gher ord|
|00002540| 65 72 20 69 6e 20 74 68 | 65 20 6e 75 63 6c 65 6f |er in th|e nucleo|
|00002550| 6e 20 73 65 6c 66 65 6e | 65 72 67 79 20 69 6e 73 |n selfen|ergy ins|
|00002560| 65 72 74 69 6f 6e 73 0a | 63 61 6e 20 61 75 74 6f |ertions.|can auto|
|00002570| 6d 61 74 69 63 61 6c 6c | 79 20 62 65 20 74 61 6b |maticall|y be tak|
|00002580| 65 6e 20 69 6e 74 6f 20 | 61 63 63 6f 75 6e 74 20 |en into |account |
|00002590| 62 79 0a 65 76 61 6c 75 | 61 74 69 6e 67 20 74 68 |by.evalu|ating th|
|000025a0| 65 20 6d 61 74 72 69 78 | 20 65 6c 65 6d 65 6e 74 |e matrix| element|
|000025b0| 73 20 6f 66 20 74 68 65 | 20 24 5c 67 61 6d 6d 61 |s of the| $\gamma|
|000025c0| 5e 7b 30 7d 20 5c 67 61 | 6d 6d 61 5f 7b 35 7d 24 |^{0} \ga|mma_{5}$|
|000025d0| 20 6f 70 65 72 61 74 6f | 72 20 62 65 74 77 65 65 | operato|r betwee|
|000025e0| 6e 0a 74 68 65 20 73 6f | 6c 75 74 69 6f 6e 73 20 |n.the so|lutions |
|000025f0| 6f 66 20 74 68 65 20 44 | 69 72 61 63 20 65 71 75 |of the D|irac equ|
|00002600| 61 74 69 6f 6e 2e 20 54 | 68 65 20 72 65 6c 61 74 |ation. T|he relat|
|00002610| 69 76 69 73 74 69 63 20 | 73 65 6c 66 65 6e 65 72 |ivistic |selfener|
|00002620| 67 79 20 66 6f 72 0a 74 | 68 65 20 66 69 6e 69 74 |gy for.t|he finit|
|00002630| 65 20 6e 75 63 6c 65 75 | 73 20 69 73 20 63 61 6c |e nucleu|s is cal|
|00002640| 63 75 6c 61 74 65 64 20 | 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e |culated |followin|
|00002650| 67 20 74 68 65 20 73 63 | 68 65 6d 65 20 64 65 66 |g the sc|heme def|
|00002660| 69 6e 65 64 20 61 73 0a | 48 61 72 74 72 65 65 20 |ined as.|Hartree |
|00002670| 61 70 70 72 6f 78 69 6d | 61 74 69 6f 6e 20 69 6e |approxim|ation in|
|00002680| 20 72 65 66 2e 7e 5c 63 | 69 74 65 7b 31 30 7d 2e | ref.~\c|ite{10}.|
|00002690| 20 49 6e 20 74 68 69 73 | 20 73 63 68 65 6d 65 20 | In this| scheme |
|000026a0| 77 65 20 61 73 73 75 6d | 65 20 61 6e 0a 65 66 66 |we assum|e an.eff|
|000026b0| 65 63 74 69 76 65 20 4c | 61 67 72 61 6e 67 69 61 |ective L|agrangia|
|000026c0| 6e 20 66 6f 72 20 6e 75 | 63 6c 65 6f 6e 73 2c 20 |n for nu|cleons, |
|000026d0| 61 20 73 63 61 6c 61 72 | 20 24 5c 73 69 67 6d 61 |a scalar| $\sigma|
|000026e0| 24 20 6d 65 73 6f 6e 20 | 61 6e 64 20 61 20 76 65 |$ meson |and a ve|
|000026f0| 63 74 6f 72 0a 24 5c 6f | 6d 65 67 61 24 20 6d 65 |ctor.$\o|mega$ me|
|00002700| 73 6f 6e 2e 20 54 68 69 | 73 20 65 66 66 65 63 74 |son. Thi|s effect|
|00002710| 69 76 65 20 4c 61 67 72 | 61 6e 67 69 61 6e 20 69 |ive Lagr|angian i|
|00002720| 73 20 64 65 66 69 6e 65 | 64 20 74 6f 20 62 65 20 |s define|d to be |
|00002730| 75 73 65 64 20 69 6e 0a | 44 69 72 61 63 20 48 61 |used in.|Dirac Ha|
|00002740| 72 74 72 65 65 20 63 61 | 6c 63 75 6c 61 74 69 6f |rtree ca|lculatio|
|00002750| 6e 73 20 66 6f 72 20 66 | 69 6e 69 74 65 20 6e 75 |ns for f|inite nu|
|00002760| 63 6c 65 69 2e 20 54 68 | 65 20 65 66 66 65 63 74 |clei. Th|e effect|
|00002770| 73 20 6f 66 20 0a 63 6f | 72 72 65 6c 61 74 69 6f |s of .co|rrelatio|
|00002780| 6e 73 20 61 6e 64 20 74 | 68 65 20 46 6f 63 6b 2d |ns and t|he Fock-|
|00002790| 65 78 63 68 61 6e 67 65 | 20 74 65 72 6d 73 20 61 |exchange| terms a|
|000027a0| 72 65 20 74 61 6b 65 6e | 20 69 6e 74 6f 20 61 63 |re taken| into ac|
|000027b0| 63 6f 75 6e 74 0a 62 79 | 20 61 73 73 75 6d 69 6e |count.by| assumin|
|000027c0| 67 20 63 6f 75 70 6c 69 | 6e 67 20 63 6f 6e 73 74 |g coupli|ng const|
|000027d0| 61 6e 74 73 20 66 6f 72 | 20 74 68 65 20 6d 65 73 |ants for| the mes|
|000027e0| 6f 6e 20 6e 75 63 6c 65 | 6f 6e 20 69 6e 74 65 72 |on nucle|on inter|
|000027f0| 61 63 74 69 6f 6e 20 74 | 65 72 6d 73 2c 0a 77 68 |action t|erms,.wh|
|00002800| 69 63 68 20 61 72 65 20 | 64 65 6e 73 69 74 79 20 |ich are |density |
|00002810| 64 65 70 65 6e 64 65 6e | 74 20 61 6e 64 20 77 68 |dependen|t and wh|
|00002820| 69 63 68 20 61 72 65 20 | 64 65 74 65 72 6d 69 6e |ich are |determin|
|00002830| 65 64 20 73 75 63 68 20 | 74 68 61 74 20 61 20 44 |ed such |that a D|
|00002840| 69 72 61 63 20 48 61 72 | 74 72 65 65 0a 63 61 6c |irac Har|tree.cal|
|00002850| 63 75 6c 61 74 69 6f 6e | 20 6f 66 20 6e 75 63 6c |culation| of nucl|
|00002860| 65 61 72 20 6d 61 74 74 | 65 72 20 72 65 70 72 6f |ear matt|er repro|
|00002870| 64 75 63 65 73 20 74 68 | 65 20 72 65 73 75 6c 74 |duces th|e result|
|00002880| 73 20 6f 66 20 6d 69 63 | 72 6f 73 63 6f 70 69 63 |s of mic|roscopic|
|00002890| 0a 44 42 48 46 20 63 61 | 6c 63 75 6c 61 74 69 6f |.DBHF ca|lculatio|
|000028a0| 6e 73 20 66 6f 72 20 74 | 68 65 20 4f 42 45 20 70 |ns for t|he OBE p|
|000028b0| 6f 74 65 6e 74 69 61 6c | 20 24 41 24 20 61 74 20 |otential| $A$ at |
|000028c0| 61 6c 6c 20 64 65 6e 73 | 69 74 69 65 73 2e 0a 0a |all dens|ities...|
|000028d0| 49 6e 20 74 68 69 73 20 | 73 63 68 65 6d 65 20 74 |In this |scheme t|
|000028e0| 68 65 20 63 6f 72 72 65 | 6c 61 74 69 6f 6e 20 65 |he corre|lation e|
|000028f0| 66 66 65 63 74 73 20 61 | 72 65 20 64 65 64 75 63 |ffects a|re deduc|
|00002900| 65 64 20 66 72 6f 6d 20 | 6e 75 63 6c 65 61 72 20 |ed from |nuclear |
|00002910| 6d 61 74 74 65 72 0a 61 | 6e 64 20 74 72 65 61 74 |matter.a|nd treat|
|00002920| 65 64 20 69 6e 20 61 20 | 6c 6f 63 61 6c 20 64 65 |ed in a |local de|
|00002930| 6e 73 69 74 79 20 61 70 | 70 72 6f 78 69 6d 61 74 |nsity ap|proximat|
|00002940| 69 6f 6e 2e 20 54 68 65 | 20 69 6e 76 65 73 74 69 |ion. The| investi|
|00002950| 67 61 74 69 6f 6e 73 20 | 6f 66 0a 72 65 66 2e 5c |gations |of.ref.\|
|00002960| 63 69 74 65 7b 31 30 7d | 20 64 65 6d 6f 6e 73 74 |cite{10}| demonst|
|00002970| 72 61 74 65 20 74 68 61 | 74 20 74 68 65 73 65 20 |rate tha|t these |
|00002980| 44 69 72 61 63 20 48 61 | 72 74 72 65 65 20 63 61 |Dirac Ha|rtree ca|
|00002990| 6c 63 75 6c 61 74 69 6f | 6e 73 20 79 69 65 6c 64 |lculatio|ns yield|
|000029a0| 0a 72 65 73 75 6c 74 73 | 20 77 68 69 63 68 20 61 |.results| which a|
|000029b0| 72 65 20 63 6c 6f 73 65 | 20 74 6f 20 44 42 48 46 |re close| to DBHF|
|000029c0| 20 63 61 6c 63 75 6c 61 | 74 69 6f 6e 73 20 69 6e | calcula|tions in|
|000029d0| 20 77 68 69 63 68 20 74 | 68 65 20 63 6f 72 72 65 | which t|he corre|
|000029e0| 6c 61 74 69 6f 6e 0a 65 | 66 66 65 63 74 73 20 61 |lation.e|ffects a|
|000029f0| 72 65 20 74 72 65 61 74 | 65 64 20 64 69 72 65 63 |re treat|ed direc|
|00002a00| 74 6c 79 20 66 6f 72 20 | 74 68 65 20 66 69 6e 69 |tly for |the fini|
|00002a10| 74 65 20 6e 75 63 6c 65 | 75 73 20 75 6e 64 65 72 |te nucle|us under|
|00002a20| 0a 63 6f 6e 73 69 64 65 | 72 61 74 69 6f 6e 2e 20 |.conside|ration. |
|00002a30| 46 75 72 74 68 65 72 6d | 6f 72 65 20 74 68 65 20 |Furtherm|ore the |
|00002a40| 70 72 65 64 69 63 74 69 | 6f 6e 73 20 6f 66 20 74 |predicti|ons of t|
|00002a50| 68 69 73 20 44 69 72 61 | 63 20 48 61 72 74 72 65 |his Dira|c Hartre|
|00002a60| 65 0a 61 70 70 72 6f 78 | 69 6d 61 74 69 6f 6e 20 |e.approx|imation |
|00002a70| 66 6f 72 20 62 69 6e 64 | 69 6e 67 20 65 6e 65 72 |for bind|ing ener|
|00002a80| 67 79 20 61 6e 64 20 72 | 61 64 69 75 73 20 6f 66 |gy and r|adius of|
|00002a90| 20 6e 75 63 6c 65 69 20 | 6c 69 6b 65 20 24 5e 7b | nuclei |like $^{|
|00002aa0| 31 36 7d 24 4f 20 61 6e | 64 0a 24 5e 7b 34 30 7d |16}$O an|d.$^{40}|
|00002ab0| 24 43 61 20 61 72 65 20 | 63 6c 6f 73 65 20 74 6f |$Ca are |close to|
|00002ac0| 20 74 68 65 20 65 6d 70 | 69 72 69 63 61 6c 20 64 | the emp|irical d|
|00002ad0| 61 74 61 2e 20 46 75 72 | 74 68 65 72 6d 6f 72 65 |ata. Fur|thermore|
|00002ae0| 20 69 74 20 69 73 20 77 | 6f 72 74 68 0a 6e 6f 74 | it is w|orth.not|
|00002af0| 69 6e 67 20 74 68 61 74 | 20 74 68 69 73 20 61 70 |ing that| this ap|
|00002b00| 70 72 6f 61 63 68 20 6c | 65 61 64 73 20 74 6f 20 |proach l|eads to |
|00002b10| 73 63 61 6c 61 72 20 61 | 6e 64 20 76 65 63 74 6f |scalar a|nd vecto|
|00002b20| 72 20 63 6f 6d 70 6f 6e | 65 6e 74 73 20 6f 66 20 |r compon|ents of |
|00002b30| 74 68 65 0a 73 65 6c 66 | 2d 65 6e 65 72 67 79 0a |the.self|-energy.|
|00002b40| 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b | 65 71 75 61 74 69 6f 6e |.\begin{|equation|
|00002b50| 7d 0a 5c 53 69 67 6d 61 | 20 28 72 29 3d 20 5c 53 |}.\Sigma| (r)= \S|
|00002b60| 69 67 6d 61 20 5e 7b 73 | 7d 20 28 72 29 20 2b 20 |igma ^{s|} (r) + |
|00002b70| 5c 67 61 6d 6d 61 5e 7b | 30 7d 20 5c 53 69 67 6d |\gamma^{|0} \Sigm|
|00002b80| 61 5e 7b 76 7d 20 28 72 | 29 20 5c 6c 61 62 65 6c |a^{v} (r|) \label|
|00002b90| 7b 73 65 6c 66 32 7d 0a | 5c 65 6e 64 7b 65 71 75 |{self2}.|\end{equ|
|00002ba0| 61 74 69 6f 6e 7d 0a 0a | 5c 6e 6f 69 6e 64 65 6e |ation}..|\noinden|
|00002bb0| 74 0a 77 68 69 63 68 20 | 61 72 65 20 6c 6f 63 61 |t.which |are loca|
|00002bc0| 6c 20 61 6e 64 20 64 65 | 70 65 6e 64 20 6f 6e 20 |l and de|pend on |
|00002bd0| 74 68 65 20 72 61 64 69 | 61 6c 20 64 69 73 74 61 |the radi|al dista|
|00002be0| 6e 63 65 20 24 72 24 20 | 6f 6e 6c 79 2e 20 55 73 |nce $r$ |only. Us|
|00002bf0| 69 6e 67 20 74 68 69 73 | 0a 73 65 6c 66 65 6e 65 |ing this|.selfene|
|00002c00| 72 67 79 20 69 6e 20 74 | 68 65 20 44 69 72 61 63 |rgy in t|he Dirac|
|00002c10| 20 65 71 75 61 74 69 6f | 6e 0a 0a 5c 62 65 67 69 | equatio|n..\begi|
|00002c20| 6e 7b 65 71 75 61 74 69 | 6f 6e 7d 0a 5b 69 20 5c |n{equati|on}.[i \|
|00002c30| 76 65 63 7b 5c 67 61 6d | 6d 61 7d 20 5c 76 65 63 |vec{\gam|ma} \vec|
|00002c40| 7b 5c 6e 61 62 6c 61 7d | 20 2b 20 4d 20 2b 20 5c |{\nabla}| + M + \|
|00002c50| 53 69 67 6d 61 20 5e 7b | 73 7d 20 28 72 29 20 2b |Sigma ^{|s} (r) +|
|00002c60| 20 5c 67 61 6d 6d 61 5e | 7b 30 7d 20 5c 53 69 67 | \gamma^|{0} \Sig|
|00002c70| 6d 61 0a 5e 7b 76 7d 28 | 72 29 5d 20 5c 50 73 69 |ma.^{v}(|r)] \Psi|
|00002c80| 20 3d 20 5c 67 61 6d 6d | 61 5e 7b 30 7d 20 45 20 | = \gamm|a^{0} E |
|00002c90| 5c 50 73 69 0a 5c 65 6e | 64 7b 65 71 75 61 74 69 |\Psi.\en|d{equati|
|00002ca0| 6f 6e 7d 0a 0a 5c 6e 6f | 69 6e 64 65 6e 74 0a 77 |on}..\no|indent.w|
|00002cb0| 65 20 6f 62 74 61 69 6e | 20 73 6f 6c 75 74 69 6f |e obtain| solutio|
|00002cc0| 6e 73 20 66 6f 72 20 74 | 68 65 20 65 6e 65 72 67 |ns for t|he energ|
|00002cd0| 79 20 24 45 24 20 61 6e | 64 20 44 69 72 61 63 20 |y $E$ an|d Dirac |
|00002ce0| 73 70 69 6e 6f 72 73 20 | 77 69 74 68 20 74 68 65 |spinors |with the|
|00002cf0| 0a 76 61 72 69 6f 75 73 | 20 71 75 61 6e 74 75 6d |.various| quantum|
|00002d00| 20 6e 75 6d 62 65 72 73 | 20 66 6f 72 20 74 68 65 | numbers| for the|
|00002d10| 20 6f 72 62 69 74 61 6c | 20 61 6e 67 75 6c 61 72 | orbital| angular|
|00002d20| 20 6d 6f 6d 65 6e 74 75 | 6d 20 24 6c 24 20 61 6e | momentu|m $l$ an|
|00002d30| 64 20 74 6f 74 61 6c 0a | 61 6e 67 75 6c 61 72 20 |d total.|angular |
|00002d40| 6d 6f 6d 65 6e 74 75 6d | 20 24 6a 24 2e 20 42 79 |momentum| $j$. By|
|00002d50| 20 66 6f 6c 6c 6f 77 69 | 6e 67 20 74 68 65 20 6e | followi|ng the n|
|00002d60| 6f 6d 65 6e 63 6c 61 74 | 75 72 65 20 6f 66 20 49 |omenclat|ure of I|
|00002d70| 74 7a 79 6b 73 6f 6e 20 | 61 6e 64 0a 5a 75 62 65 |tzykson |and.Zube|
|00002d80| 72 20 5c 63 69 74 65 7b | 69 74 7a 7d 20 77 65 20 |r \cite{|itz} we |
|00002d90| 77 72 69 74 65 20 74 68 | 65 20 72 65 6c 61 74 69 |write th|e relati|
|00002da0| 76 69 73 74 69 63 20 77 | 61 76 65 20 66 75 6e 63 |vistic w|ave func|
|00002db0| 74 69 6f 6e 73 20 61 73 | 0a 0a 5c 62 65 67 69 6e |tions as|..\begin|
|00002dc0| 7b 65 71 75 61 74 69 6f | 6e 7d 0a 5c 50 73 69 5f |{equatio|n}.\Psi_|
|00002dd0| 7b 6a 6d 7d 20 5e 7b 6c | 7d 28 5c 76 65 63 7b 72 |{jm} ^{l|}(\vec{r|
|00002de0| 7d 29 20 5c 65 71 75 69 | 76 20 0a 5c 6c 65 66 74 |}) \equi|v .\left|
|00002df0| 5c 7b 0a 5c 62 65 67 69 | 6e 7b 61 72 72 61 79 7d |\{.\begi|n{array}|
|00002e00| 7b 6c 6c 7d 0a 69 20 5c | 66 72 61 63 7b 47 5f 7b |{ll}.i \|frac{G_{|
|00002e10| 6c 6a 7d 28 72 29 7d 7b | 72 7d 20 26 20 5c 70 73 |lj}(r)}{|r} & \ps|
|00002e20| 69 5f 7b 6a 6d 7d 20 5e | 7b 6c 7d 5c 5c 0a 5c 5c |i_{jm} ^|{l}\\.\\|
|00002e30| 0a 5c 66 72 61 63 7b 46 | 5f 7b 6c 6a 7d 28 72 29 |.\frac{F|_{lj}(r)|
|00002e40| 7d 7b 72 7d 20 26 20 5c | 76 65 63 7b 5c 73 69 67 |}{r} & \|vec{\sig|
|00002e50| 6d 61 7d 20 2e 20 5c 68 | 61 74 7b 72 7d 20 5c 70 |ma} . \h|at{r} \p|
|00002e60| 73 69 5f 7b 6a 6d 7d 20 | 5e 7b 6c 7d 0a 5c 65 6e |si_{jm} |^{l}.\en|
|00002e70| 64 7b 61 72 72 61 79 7d | 0a 5c 72 69 67 68 74 5c |d{array}|.\right\|
|00002e80| 7d 0a 5c 65 6e 64 7b 65 | 71 75 61 74 69 6f 6e 7d |}.\end{e|quation}|
|00002e90| 0a 0a 5c 6e 6f 69 6e 64 | 65 6e 74 0a 77 68 65 72 |..\noind|ent.wher|
|00002ea0| 65 20 24 5c 70 73 69 5f | 7b 6a 6d 7d 5e 7b 6c 7d |e $\psi_|{jm}^{l}|
|00002eb0| 24 20 61 72 65 20 74 68 | 65 20 73 70 69 6e 20 77 |$ are th|e spin w|
|00002ec0| 61 76 65 20 66 75 6e 63 | 74 69 6f 6e 73 20 67 69 |ave func|tions gi|
|00002ed0| 76 65 6e 20 62 79 0a 0a | 24 24 0a 5c 70 73 69 5f |ven by..|$$.\psi_|
|00002ee0| 7b 6a 6d 7d 5e 7b 28 2b | 29 7d 3d 28 5c 66 72 61 |{jm}^{(+|)}=(\fra|
|00002ef0| 63 7b 31 7d 7b 32 6a 7d | 29 5e 7b 31 2f 32 7d 0a |c{1}{2j}|)^{1/2}.|
|00002f00| 5c 6c 65 66 74 5c 7b 0a | 5c 62 65 67 69 6e 7b 61 |\left\{.|\begin{a|
|00002f10| 72 72 61 79 7d 7b 6c 6c | 7d 0a 28 6a 20 2b 20 6d |rray}{ll|}.(j + m|
|00002f20| 29 5e 7b 31 2f 32 7d 20 | 26 20 59 5f 7b 6a 2d 31 |)^{1/2} |& Y_{j-1|
|00002f30| 2f 32 7d 5e 7b 6d 2d 31 | 2f 32 7d 5c 5c 0a 28 6a |/2}^{m-1|/2}\\.(j|
|00002f40| 20 2d 20 6d 29 5e 7b 31 | 2f 32 7d 20 26 20 59 5f | - m)^{1|/2} & Y_|
|00002f50| 7b 6a 2d 31 2f 32 7d 5e | 7b 6d 2b 31 2f 32 7d 0a |{j-1/2}^|{m+1/2}.|
|00002f60| 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 | 61 79 7d 0a 5c 72 69 67 |\end{arr|ay}.\rig|
|00002f70| 68 74 5c 7d 0a 66 6f 72 | 5c 3b 5c 3a 20 6a 20 3d |ht\}.for|\;\: j =|
|00002f80| 20 6c 20 2b 20 31 2f 32 | 0a 24 24 0a 0a 5c 62 65 | l + 1/2|.$$..\be|
|00002f90| 67 69 6e 7b 65 71 75 61 | 74 69 6f 6e 7d 0a 5c 70 |gin{equa|tion}.\p|
|00002fa0| 73 69 5f 7b 6a 6d 7d 5e | 7b 28 2d 29 7d 20 3d 20 |si_{jm}^|{(-)} = |
|00002fb0| 28 5c 66 72 61 63 7b 31 | 7d 7b 32 6a 2b 32 7d 29 |(\frac{1|}{2j+2})|
|00002fc0| 5e 7b 31 2f 32 7d 0a 5c | 6c 65 66 74 5c 7b 0a 5c |^{1/2}.\|left\{.\|
|00002fd0| 62 65 67 69 6e 7b 61 72 | 72 61 79 7d 7b 6c 6c 7d |begin{ar|ray}{ll}|
|00002fe0| 0a 28 6a 2b 31 2d 6d 29 | 5e 7b 31 2f 32 7d 20 26 |.(j+1-m)|^{1/2} &|
|00002ff0| 20 59 5f 7b 6a 2b 31 2f | 32 7d 5e 7b 6d 2d 31 2f | Y_{j+1/|2}^{m-1/|
|00003000| 32 7d 5c 5c 0a 2d 28 6a | 2b 31 2b 6d 29 5e 7b 31 |2}\\.-(j|+1+m)^{1|
|00003010| 2f 32 7d 20 26 20 59 5f | 7b 6a 2b 31 2f 32 7d 5e |/2} & Y_|{j+1/2}^|
|00003020| 7b 6d 2b 31 2f 32 7d 0a | 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 |{m+1/2}.|\end{arr|
|00003030| 61 79 7d 0a 5c 72 69 67 | 68 74 5c 7d 0a 66 6f 72 |ay}.\rig|ht\}.for|
|00003040| 5c 3b 5c 3a 20 6a 3d 6c | 2d 31 2f 32 5c 3b 5c 3a |\;\: j=l|-1/2\;\:|
|00003050| 28 6c 3e 30 29 0a 5c 65 | 6e 64 7b 65 71 75 61 74 |(l>0).\e|nd{equat|
|00003060| 69 6f 6e 7d 0a 0a 57 69 | 74 68 20 61 20 6c 69 74 |ion}..Wi|th a lit|
|00003070| 74 6c 65 20 62 69 74 20 | 6f 66 20 61 6c 67 65 62 |tle bit |of algeb|
|00003080| 72 61 20 74 68 65 20 6d | 61 74 72 69 78 20 65 6c |ra the m|atrix el|
|00003090| 65 6d 65 6e 74 73 20 6f | 66 20 24 5c 67 61 6d 6d |ements o|f $\gamm|
|000030a0| 61 5e 7b 30 7d 20 5c 67 | 61 6d 6d 61 5f 7b 35 7d |a^{0} \g|amma_{5}|
|000030b0| 24 0a 62 65 74 77 65 65 | 6e 20 44 69 72 61 63 20 |$.betwee|n Dirac |
|000030c0| 77 61 76 65 20 66 75 6e | 63 74 69 6f 6e 73 20 61 |wave fun|ctions a|
|000030d0| 72 65 20 72 65 61 64 69 | 6c 79 20 65 76 61 6c 75 |re readi|ly evalu|
|000030e0| 61 74 65 64 20 61 6e 64 | 20 74 68 65 20 72 65 73 |ated and| the res|
|000030f0| 75 6c 74 73 20 61 72 65 | 20 73 68 6f 77 6e 0a 69 |ults are| shown.i|
|00003100| 6e 20 74 68 65 20 61 70 | 70 65 6e 64 69 78 2e 0a |n the ap|pendix..|
|00003110| 0a 53 69 6e 63 65 20 74 | 68 65 20 61 78 69 61 6c |.Since t|he axial|
|00003120| 20 63 68 61 72 67 65 20 | 72 65 6e 6f 72 6d 61 6c | charge |renormal|
|00003130| 69 7a 61 74 69 6f 6e 20 | 69 73 20 63 68 65 63 6b |ization |is check|
|00003140| 65 64 20 69 6e 20 74 68 | 65 20 24 30 5e 7b 2b 7d |ed in th|e $0^{+}|
|00003150| 5c 6c 65 66 74 72 69 67 | 68 74 61 72 72 6f 77 0a |\leftrig|htarrow.|
|00003160| 30 5e 7b 2d 7d 24 20 66 | 69 72 73 74 20 66 6f 72 |0^{-}$ f|irst for|
|00003170| 62 69 64 64 65 6e 20 24 | 5c 62 65 74 61 24 2d 64 |bidden $|\beta$-d|
|00003180| 65 63 61 79 20 74 72 61 | 6e 73 69 74 69 6f 6e 73 |ecay tra|nsitions|
|00003190| 20 77 65 20 68 61 76 65 | 20 70 65 72 66 6f 72 6d | we have| perform|
|000031a0| 65 64 20 74 68 65 0a 63 | 61 6c 63 75 6c 61 74 69 |ed the.c|alculati|
|000031b0| 6f 6e 73 20 66 6f 72 20 | 74 68 65 20 72 65 6c 65 |ons for |the rele|
|000031c0| 76 61 6e 74 20 6d 61 74 | 72 69 78 20 65 6c 65 6d |vant mat|rix elem|
|000031d0| 65 6e 74 73 20 69 6e 20 | 74 68 65 73 65 20 74 72 |ents in |these tr|
|000031e0| 61 6e 73 69 74 69 6f 6e | 73 20 69 6e 20 74 77 6f |ansition|s in two|
|000031f0| 0a 6e 75 63 6c 65 69 20 | 24 5e 7b 31 36 7d 4f 24 |.nuclei |$^{16}O$|
|00003200| 20 61 6e 64 20 24 5e 7b | 34 30 7d 43 61 24 2c 20 | and $^{|40}Ca$, |
|00003210| 69 6e 20 6f 72 64 65 72 | 20 74 6f 20 73 65 65 20 |in order| to see |
|00003220| 74 68 65 20 64 69 66 66 | 65 72 65 6e 63 65 20 6f |the diff|erence o|
|00003230| 66 20 74 68 65 0a 72 65 | 6e 6f 72 6d 61 6c 69 7a |f the.re|normaliz|
|00003240| 61 74 69 6f 6e 20 66 6f | 72 20 6e 75 63 6c 65 69 |ation fo|r nuclei|
|00003250| 20 77 69 74 68 20 64 69 | 66 66 65 72 65 6e 74 20 | with di|fferent |
|00003260| 6d 61 73 73 20 6e 75 6d | 62 65 72 2e 0a 0a 46 6f |mass num|ber...Fo|
|00003270| 72 20 73 75 63 68 20 64 | 6f 75 62 6c 65 20 63 6c |r such d|ouble cl|
|00003280| 6f 73 65 64 20 73 68 65 | 6c 6c 20 6e 75 63 6c 65 |osed she|ll nucle|
|00003290| 69 20 61 20 24 30 5e 7b | 2d 7d 24 20 73 74 61 74 |i a $0^{|-}$ stat|
|000032a0| 65 20 69 73 20 66 6f 72 | 6d 65 64 20 77 69 74 68 |e is for|med with|
|000032b0| 20 61 20 24 70 68 24 0a | 65 78 63 69 74 61 74 69 | a $ph$.|excitati|
|000032c0| 6f 6e 20 66 6f 72 20 24 | 6c 5f 7b 70 7d 24 20 61 |on for $|l_{p}$ a|
|000032d0| 6e 64 20 24 6c 5f 7b 68 | 7d 24 20 77 69 74 68 20 |nd $l_{h|}$ with |
|000032e0| 64 69 66 66 65 72 65 6e | 74 0a 70 61 72 69 74 79 |differen|t.parity|
|000032f0| 20 61 6e 64 20 24 6a 5f | 7b 70 7d 3d 6a 5f 7b 68 | and $j_|{p}=j_{h|
|00003300| 7d 24 2e 20 57 65 20 68 | 61 76 65 0a 0a 5c 62 65 |}$. We h|ave..\be|
|00003310| 67 69 6e 7b 65 71 6e 61 | 72 72 61 79 7d 0a 7c 20 |gin{eqna|rray}.| |
|00003320| 30 5e 7b 2d 7d 20 3e 26 | 3d 26 5c 73 75 6d 5f 7b |0^{-} >&|=&\sum_{|
|00003330| 6d 7d 28 2d 31 29 5e 7b | 6a 5f 7b 68 7d 2d 6d 7d |m}(-1)^{|j_{h}-m}|
|00003340| 20 43 28 6a 5f 7b 70 7d | 20 6a 5f 7b 68 7d 20 30 | C(j_{p}| j_{h} 0|
|00003350| 3b 20 6d 2c 20 2d 6d 29 | 20 61 5e 5c 64 61 67 67 |; m, -m)| a^\dagg|
|00003360| 65 72 5f 7b 6a 5f 7b 70 | 7d 6d 7d 0a 61 5f 7b 6a |er_{j_{p|}m}.a_{j|
|00003370| 5f 7b 68 7d 6d 7d 20 7c | 20 30 5e 2b 20 3e 0a 5c |_{h}m} || 0^+ >.\|
|00003380| 6e 6f 6e 75 6d 62 65 72 | 5c 5c 0a 26 3d 26 20 5c |nonumber|\\.&=& \|
|00003390| 73 75 6d 5f 7b 6d 7d 5c | 73 71 72 74 7b 5c 66 72 |sum_{m}\|sqrt{\fr|
|000033a0| 61 63 7b 31 7d 7b 32 6a | 5f 7b 68 7d 2b 31 7d 7d |ac{1}{2j|_{h}+1}}|
|000033b0| 0a 61 5e 5c 64 61 67 67 | 65 72 5f 7b 6a 5f 7b 70 |.a^\dagg|er_{j_{p|
|000033c0| 7d 6d 7d 20 61 5f 7b 6a | 5f 7b 68 7d 6d 7d 20 7c |}m} a_{j|_{h}m} ||
|000033d0| 20 30 5e 2b 20 3e 0a 5c | 65 6e 64 7b 65 71 6e 61 | 0^+ >.\|end{eqna|
|000033e0| 72 72 61 79 7d 0a 0a 54 | 68 65 20 6d 61 74 72 69 |rray}..T|he matri|
|000033f0| 78 20 65 6c 65 6d 65 6e | 74 20 66 6f 72 20 74 68 |x elemen|t for th|
|00003400| 65 20 24 30 5e 7b 2b 7d | 20 5c 6c 65 66 74 72 69 |e $0^{+}| \leftri|
|00003410| 67 68 74 61 72 72 6f 77 | 20 30 5e 7b 2d 7d 24 20 |ghtarrow| 0^{-}$ |
|00003420| 74 72 61 6e 73 69 74 69 | 6f 6e 20 69 73 20 72 65 |transiti|on is re|
|00003430| 61 64 69 6c 79 0a 6f 62 | 74 61 69 6e 65 64 20 66 |adily.ob|tained f|
|00003440| 72 6f 6d 20 74 68 65 20 | 66 6f 72 6d 75 6c 61 73 |rom the |formulas|
|00003450| 20 69 6e 20 74 68 65 20 | 61 70 70 65 6e 64 69 78 | in the |appendix|
|00003460| 20 62 79 20 73 65 74 74 | 69 6e 67 20 24 6a 20 3d | by sett|ing $j =|
|00003470| 20 6a 27 2c 20 6d 20 3d | 20 6d 27 24 0a 73 75 6d | j', m =| m'$.sum|
|00003480| 6d 69 6e 67 20 6f 76 65 | 72 20 24 6d 24 20 61 6e |ming ove|r $m$ an|
|00003490| 64 20 6d 75 6c 74 69 70 | 6c 79 69 6e 67 20 62 79 |d multip|lying by|
|000034a0| 20 24 28 32 6a 20 2b 20 | 31 29 5e 7b 2d 31 2f 32 | $(2j + |1)^{-1/2|
|000034b0| 7d 24 2e 20 54 68 65 20 | 24 30 5e 7b 2b 7d 0a 5c |}$. The |$0^{+}.\|
|000034c0| 6c 65 66 74 72 69 67 68 | 74 61 72 72 6f 77 20 30 |leftrigh|tarrow 0|
|000034d0| 5e 7b 2d 7d 24 20 74 72 | 61 6e 73 69 74 69 6f 6e |^{-}$ tr|ansition|
|000034e0| 20 63 61 6e 20 6f 6e 6c | 79 20 62 65 20 64 6f 6e | can onl|y be don|
|000034f0| 65 20 77 69 74 68 20 63 | 61 73 65 73 20 62 29 20 |e with c|ases b) |
|00003500| 61 6e 64 20 63 29 20 61 | 6e 64 0a 69 6e 20 62 6f |and c) a|nd.in bo|
|00003510| 74 68 20 63 61 73 65 73 | 20 77 65 20 67 65 74 20 |th cases| we get |
|00003520| 61 20 73 69 6d 70 6c 69 | 66 69 65 64 20 73 6f 6c |a simpli|fied sol|
|00003530| 75 74 69 6f 6e 20 77 68 | 69 63 68 20 69 73 0a 0a |ution wh|ich is..|
|00003540| 24 24 0a 3c 20 30 5e 7b | 2b 7d 20 7c 20 5c 67 61 |$$.< 0^{|+} | \ga|
|00003550| 6d 6d 61 5e 7b 30 7d 20 | 5c 67 61 6d 6d 61 5f 7b |mma^{0} |\gamma_{|
|00003560| 35 7d 20 65 5e 7b 69 20 | 5c 76 65 63 7b 71 7d 20 |5} e^{i |\vec{q} |
|00003570| 5c 76 65 63 7b 72 7d 7d | 20 7c 20 30 5e 7b 2d 7d |\vec{r}}| | 0^{-}|
|00003580| 20 3e 20 3d 0a 24 24 0a | 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b | > =.$$.|.\begin{|
|00003590| 65 71 75 61 74 69 6f 6e | 7d 0a 5c 73 71 72 74 7b |equation|}.\sqrt{|
|000035a0| 32 6a 20 2b 20 31 7d 20 | 28 2d 69 29 20 5c 69 6e |2j + 1} |(-i) \in|
|000035b0| 74 20 72 5e 7b 32 7d 20 | 64 72 20 5c 6c 65 66 74 |t r^{2} |dr \left|
|000035c0| 5b 20 5c 66 72 61 63 7b | 47 5f 7b 6c 27 20 6a 27 |[ \frac{|G_{l' j'|
|000035d0| 7d 20 28 72 29 7d 7b 72 | 7d 20 5c 66 72 61 63 7b |} (r)}{r|} \frac{|
|000035e0| 46 5f 7b 6c 6a 7d 20 0a | 28 72 29 7d 0a 7b 72 7d |F_{lj} .|(r)}.{r}|
|000035f0| 20 2d 20 5c 66 72 61 63 | 7b 46 5f 7b 6c 27 20 6a | - \frac|{F_{l' j|
|00003600| 27 7d 28 72 29 7d 7b 72 | 7d 20 5c 66 72 61 63 7b |'}(r)}{r|} \frac{|
|00003610| 47 5f 7b 6c 6a 7d 20 28 | 72 29 7d 7b 72 7d 20 5c |G_{lj} (|r)}{r} \|
|00003620| 72 69 67 68 74 5d 20 6a | 5f 7b 30 7d 20 28 71 72 |right] j|_{0} (qr|
|00003630| 29 0a 5c 65 6e 64 7b 65 | 71 75 61 74 69 6f 6e 7d |).\end{e|quation}|
|00003640| 0a 0a 57 65 20 63 6f 6e | 73 74 72 75 63 74 20 74 |..We con|struct t|
|00003650| 68 65 20 24 30 5e 7b 2d | 7d 24 20 73 74 61 74 65 |he $0^{-|}$ state|
|00003660| 20 69 6e 20 24 5e 7b 31 | 36 7d 4f 24 20 61 73 20 | in $^{1|6}O$ as |
|00003670| 61 20 24 70 68 24 20 65 | 78 63 69 74 61 74 69 6f |a $ph$ e|xcitatio|
|00003680| 6e 20 77 69 74 68 20 74 | 68 65 0a 6f 72 62 69 74 |n with t|he.orbit|
|00003690| 61 6c 73 20 24 31 70 5f | 7b 31 2f 32 7d 24 20 61 |als $1p_|{1/2}$ a|
|000036a0| 6e 64 20 24 32 73 5f 7b | 31 2f 32 7d 24 2e 20 57 |nd $2s_{|1/2}$. W|
|000036b0| 65 20 61 6c 73 6f 20 63 | 6f 6e 73 69 64 65 72 20 |e also c|onsider |
|000036c0| 74 68 65 20 63 6f 6d 70 | 6f 6e 65 6e 74 20 77 69 |the comp|onent wi|
|000036d0| 74 68 0a 24 31 70 5f 7b | 33 2f 32 7d 24 20 61 6e |th.$1p_{|3/2}$ an|
|000036e0| 64 20 24 31 64 5f 7b 33 | 2f 32 7d 24 20 69 6e 20 |d $1d_{3|/2}$ in |
|000036f0| 6f 72 64 65 72 20 74 6f | 20 73 65 65 20 77 68 65 |order to| see whe|
|00003700| 74 68 65 72 20 74 68 65 | 20 72 65 6e 6f 72 6d 61 |ther the| renorma|
|00003710| 6c 69 7a 61 74 69 6f 6e | 20 69 73 20 0a 73 74 61 |lization| is .sta|
|00003720| 74 65 20 64 65 70 65 6e | 64 65 6e 74 20 6f 72 20 |te depen|dent or |
|00003730| 6e 6f 74 2e 20 49 6e 20 | 74 68 65 20 63 61 73 65 |not. In |the case|
|00003740| 20 6f 66 20 24 5e 7b 34 | 30 7d 43 61 24 20 77 65 | of $^{4|0}Ca$ we|
|00003750| 20 74 61 6b 65 20 74 68 | 65 20 6f 72 62 69 74 61 | take th|e orbita|
|00003760| 6c 73 0a 24 31 64 5f 7b | 33 2f 32 7d 24 20 61 6e |ls.$1d_{|3/2}$ an|
|00003770| 64 20 24 32 70 5f 7b 33 | 2f 32 7d 24 20 2e 20 49 |d $2p_{3|/2}$ . I|
|00003780| 6e 20 61 6c 6c 20 63 61 | 73 65 73 20 77 65 20 63 |n all ca|ses we c|
|00003790| 6f 6e 73 69 64 65 72 20 | 61 20 70 72 6f 74 6f 6e |onsider |a proton|
|000037a0| 20 68 6f 6c 65 0a 73 74 | 61 74 65 20 61 6e 64 20 | hole.st|ate and |
|000037b0| 61 20 6e 65 75 74 72 6f | 6e 20 70 61 72 74 69 63 |a neutro|n partic|
|000037c0| 6c 65 20 73 74 61 74 65 | 2c 20 61 73 0a 69 74 20 |le state|, as.it |
|000037d0| 63 6f 72 72 65 73 70 6f | 6e 64 73 20 74 6f 20 24 |correspo|nds to $|
|000037e0| 5c 62 65 74 61 24 20 74 | 72 61 6e 73 69 74 69 6f |\beta$ t|ransitio|
|000037f0| 6e 73 2e 20 54 68 65 20 | 6e 65 75 74 72 6f 6e 20 |ns. The |neutron |
|00003800| 73 74 61 74 65 73 20 69 | 6e 0a 74 68 65 20 24 32 |states i|n.the $2|
|00003810| 73 5f 7b 31 2f 32 7d 24 | 20 61 6e 64 20 24 31 64 |s_{1/2}$| and $1d|
|00003820| 5f 7b 33 2f 32 7d 24 20 | 6f 72 62 69 74 61 6c 73 |_{3/2}$ |orbitals|
|00003830| 20 69 6e 20 24 5e 7b 31 | 36 7d 4f 24 20 61 6e 64 | in $^{1|6}O$ and|
|00003840| 20 74 68 65 20 24 32 70 | 5f 7b 33 2f 32 7d 24 20 | the $2p|_{3/2}$ |
|00003850| 6f 72 62 69 74 61 6c 0a | 6f 66 20 24 5e 7b 34 30 |orbital.|of $^{40|
|00003860| 7d 43 61 24 20 61 72 65 | 20 61 6c 6c 20 62 6f 75 |}Ca$ are| all bou|
|00003870| 6e 64 20 73 74 61 74 65 | 73 20 69 6e 20 74 68 65 |nd state|s in the|
|00003880| 20 70 6f 74 65 6e 74 69 | 61 6c 20 75 73 65 64 2e | potenti|al used.|
|00003890| 0a 0a 5c 73 65 63 74 69 | 6f 6e 7b 4e 6f 6e 20 72 |..\secti|on{Non r|
|000038a0| 65 6c 61 74 69 76 69 73 | 74 69 63 20 63 61 6c 63 |elativis|tic calc|
|000038b0| 75 6c 61 74 69 6f 6e 2e | 7d 0a 0a 49 6e 20 6f 72 |ulation.|}..In or|
|000038c0| 64 65 72 20 74 6f 20 73 | 65 65 20 74 68 65 20 65 |der to s|ee the e|
|000038d0| 66 66 65 63 74 73 20 6f | 66 20 74 68 65 20 72 65 |ffects o|f the re|
|000038e0| 6e 6f 72 6d 61 6c 69 7a | 61 74 69 6f 6e 20 64 75 |normaliz|ation du|
|000038f0| 65 20 74 6f 20 74 68 65 | 20 72 65 6c 61 74 69 76 |e to the| relativ|
|00003900| 69 73 74 69 63 0a 73 74 | 72 75 63 74 75 72 65 20 |istic.st|ructure |
|00003910| 6f 66 20 74 68 65 20 70 | 6f 74 65 6e 74 69 61 6c |of the p|otential|
|00003920| 20 28 5c 72 65 66 7b 73 | 65 6c 66 32 7d 29 20 77 | (\ref{s|elf2}) w|
|00003930| 65 20 73 6f 6c 76 65 20 | 74 68 65 20 53 63 68 72 |e solve |the Schr|
|00003940| 5c 22 6f 64 69 6e 67 65 | 72 0a 65 71 75 61 74 69 |\"odinge|r.equati|
|00003950| 6f 6e 20 77 69 74 68 20 | 74 68 65 20 65 71 75 69 |on with |the equi|
|00003960| 76 61 6c 65 6e 74 20 6e | 6f 6e 72 65 6c 61 74 69 |valent n|onrelati|
|00003970| 76 69 73 74 69 63 20 70 | 6f 74 65 6e 74 69 61 6c |vistic p|otential|
|00003980| 0a 5c 63 69 74 65 7b 6a | 61 6d 38 39 2c 6b 6c 65 |.\cite{j|am89,kle|
|00003990| 69 6e 7d 0a 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 65 71 75 61 |in}..\be|gin{equa|
|000039a0| 74 69 6f 6e 7d 0a 55 5f | 7b 53 45 50 7d 28 72 29 |tion}.U_|{SEP}(r)|
|000039b0| 20 3d 20 5c 53 69 67 6d | 61 5e 73 28 72 29 20 2b | = \Sigm|a^s(r) +|
|000039c0| 20 5c 66 72 61 63 7b 45 | 7d 7b 4d 7d 5c 53 69 67 | \frac{E|}{M}\Sig|
|000039d0| 6d 61 5e 76 28 72 29 20 | 2b 0a 5c 66 72 61 63 7b |ma^v(r) |+.\frac{|
|000039e0| 5c 6c 65 66 74 28 5c 53 | 69 67 6d 61 5e 73 28 72 |\left(\S|igma^s(r|
|000039f0| 29 5c 72 69 67 68 74 29 | 5e 32 20 2d 20 5c 6c 65 |)\right)|^2 - \le|
|00003a00| 66 74 28 5c 53 69 67 6d | 61 5e 76 28 72 29 5c 72 |ft(\Sigm|a^v(r)\r|
|00003a10| 69 67 68 74 29 5e 32 20 | 2b 0a 55 5f 7b 5c 68 62 |ight)^2 |+.U_{\hb|
|00003a20| 6f 78 7b 44 61 72 77 69 | 6e 7d 7d 28 72 29 7d 7b |ox{Darwi|n}}(r)}{|
|00003a30| 32 4d 7d 20 5c 6c 61 62 | 65 6c 7b 65 71 3a 73 65 |2M} \lab|el{eq:se|
|00003a40| 70 7d 0a 5c 65 6e 64 7b | 65 71 75 61 74 69 6f 6e |p}.\end{|equation|
|00003a50| 7d 0a 77 69 74 68 0a 5c | 62 65 67 69 6e 7b 65 71 |}.with.\|begin{eq|
|00003a60| 6e 61 72 72 61 79 7d 0a | 55 5f 7b 5c 68 62 6f 78 |narray}.|U_{\hbox|
|00003a70| 7b 44 61 72 77 69 6e 7d | 7d 28 72 29 20 26 20 3d |{Darwin}|}(r) & =|
|00003a80| 20 26 20 5c 66 72 61 63 | 7b 33 7d 7b 34 7d 20 5c | & \frac|{3}{4} \|
|00003a90| 6c 65 66 74 5b 0a 5c 66 | 72 61 63 7b 31 7d 7b 44 |left[.\f|rac{1}{D|
|00003aa0| 28 72 29 7d 5c 66 72 61 | 63 7b 64 5c 2c 44 28 72 |(r)}\fra|c{d\,D(r|
|00003ab0| 29 7d 7b 64 72 7d 5c 72 | 69 67 68 74 5d 5e 32 20 |)}{dr}\r|ight]^2 |
|00003ac0| 2d 20 5c 66 72 61 63 7b | 31 7d 7b 72 44 28 72 29 |- \frac{|1}{rD(r)|
|00003ad0| 7d 5c 66 72 61 63 7b 64 | 5c 2c 44 28 72 29 7d 7b |}\frac{d|\,D(r)}{|
|00003ae0| 64 72 7d 0a 2d 5c 66 72 | 61 63 7b 31 7d 7b 32 44 |dr}.-\fr|ac{1}{2D|
|00003af0| 28 72 29 7d 20 5c 66 72 | 61 63 7b 64 5e 32 44 28 |(r)} \fr|ac{d^2D(|
|00003b00| 72 29 7d 7b 64 72 5e 32 | 7d 5c 3b 20 2c 20 5c 6e |r)}{dr^2|}\; , \n|
|00003b10| 6f 6e 75 6d 62 65 72 5c | 5c 0a 44 28 72 29 20 26 |onumber\|\.D(r) &|
|00003b20| 20 3d 20 26 20 20 45 20 | 2b 20 5c 53 69 67 6d 61 | = & E |+ \Sigma|
|00003b30| 5e 73 28 72 29 20 2d 20 | 5c 53 69 67 6d 61 5e 76 |^s(r) - |\Sigma^v|
|00003b40| 28 72 29 20 5c 3b 20 2e | 0a 5c 65 6e 64 7b 65 71 |(r) \; .|.\end{eq|
|00003b50| 6e 61 72 72 61 79 7d 0a | 0a 5c 6e 6f 69 6e 64 65 |narray}.|.\noinde|
|00003b60| 6e 74 0a 54 68 65 20 73 | 69 6e 67 6c 65 2d 70 61 |nt.The s|ingle-pa|
|00003b70| 72 74 69 63 6c 65 20 77 | 61 76 65 66 75 6e 63 74 |rticle w|avefunct|
|00003b80| 69 6f 6e 73 20 6f 62 74 | 61 69 6e 65 64 20 66 72 |ions obt|ained fr|
|00003b90| 6f 6d 20 74 68 65 20 73 | 6f 6c 75 74 69 6f 6e 20 |om the s|olution |
|00003ba0| 6f 66 20 74 68 65 0a 53 | 63 68 72 6f 65 64 69 6e |of the.S|chroedin|
|00003bb0| 67 65 72 20 65 71 75 61 | 74 69 6f 6e 20 77 69 74 |ger equa|tion wit|
|00003bc0| 68 20 24 55 5f 7b 53 45 | 50 7d 24 20 61 72 65 20 |h $U_{SE|P}$ are |
|00003bd0| 75 73 65 64 20 74 6f 20 | 65 76 61 6c 75 61 74 65 |used to |evaluate|
|00003be0| 20 74 68 65 20 6d 61 74 | 72 69 78 0a 65 6c 65 6d | the mat|rix.elem|
|00003bf0| 65 6e 74 73 20 6f 66 20 | 74 68 65 20 24 5c 76 65 |ents of |the $\ve|
|00003c00| 63 7b 5c 73 69 67 6d 61 | 7d 20 28 5c 76 65 63 7b |c{\sigma|} (\vec{|
|00003c10| 70 7d 20 2b 20 5c 76 65 | 63 7b 70 7d 5c 3a 27 29 |p} + \ve|c{p}\:')|
|00003c20| 2f 32 4d 24 20 6f 70 65 | 72 61 74 6f 72 20 61 6e |/2M$ ope|rator an|
|00003c30| 64 0a 77 65 20 66 69 6e | 64 20 0a 0a 24 24 0a 3c |d.we fin|d ..$$.<|
|00003c40| 20 30 5e 7b 2b 7d 20 7c | 20 5c 76 65 63 7b 5c 73 | 0^{+} || \vec{\s|
|00003c50| 69 67 6d 61 7d 20 5c 66 | 72 61 63 7b 28 5c 76 65 |igma} \f|rac{(\ve|
|00003c60| 63 7b 70 7d 20 2b 20 5c | 76 65 63 7b 70 7d 27 29 |c{p} + \|vec{p}')|
|00003c70| 7d 7b 32 4d 7d 20 7c 20 | 30 5e 7b 2d 7d 20 3e 3d |}{2M} | |0^{-} >=|
|00003c80| 0a 24 24 0a 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 65 71 75 61 |.$$..\be|gin{equa|
|00003c90| 74 69 6f 6e 7d 0a 69 28 | 2d 31 29 5e 7b 6a 27 20 |tion}.i(|-1)^{j' |
|00003ca0| 2b 20 6c 27 20 2b 20 31 | 2f 32 7d 20 5c 66 72 61 |+ l' + 1|/2} \fra|
|00003cb0| 63 7b 31 7d 7b 32 4d 7d | 20 5c 73 71 72 74 7b 32 |c{1}{2M}| \sqrt{2|
|00003cc0| 7d 20 46 20 28 6e 27 20 | 6c 27 20 6a 27 2c 20 6e |} F (n' |l' j', n|
|00003cd0| 6c 6a 3b 20 5c 6c 61 6d | 62 64 61 20 3d 20 30 29 |lj; \lam|bda = 0)|
|00003ce0| 0a 5c 65 6e 64 7b 65 71 | 75 61 74 69 6f 6e 7d 0a |.\end{eq|uation}.|
|00003cf0| 0a 5c 6e 6f 69 6e 64 65 | 6e 74 0a 77 68 65 72 65 |.\noinde|nt.where|
|00003d00| 20 74 68 65 20 66 75 6e | 63 74 69 6f 6e 20 24 46 | the fun|ction $F|
|00003d10| 24 20 69 73 20 64 65 66 | 69 6e 65 64 20 69 6e 20 |$ is def|ined in |
|00003d20| 74 68 65 20 61 70 70 65 | 6e 64 69 78 2e 0a 0a 5c |the appe|ndix...\|
|00003d30| 73 65 63 74 69 6f 6e 7b | 52 65 73 75 6c 74 73 20 |section{|Results |
|00003d40| 61 6e 64 20 64 69 73 63 | 75 73 73 69 6f 6e 2e 7d |and disc|ussion.}|
|00003d50| 0a 0a 49 6e 20 66 69 67 | 2e 20 32 20 77 65 20 73 |..In fig|. 2 we s|
|00003d60| 68 6f 77 20 74 68 65 20 | 6d 61 74 72 69 78 20 65 |how the |matrix e|
|00003d70| 6c 65 6d 65 6e 74 73 20 | 6f 66 20 74 68 65 20 61 |lements |of the a|
|00003d80| 78 69 61 6c 20 63 68 61 | 72 67 65 20 66 6f 72 20 |xial cha|rge for |
|00003d90| 74 68 65 20 72 65 6c 61 | 74 69 76 69 73 74 69 63 |the rela|tivistic|
|00003da0| 0a 61 6e 64 20 6e 6f 6e | 20 72 65 6c 61 74 69 76 |.and non| relativ|
|00003db0| 69 73 74 69 63 20 63 61 | 73 65 73 20 6f 66 20 65 |istic ca|ses of e|
|00003dc0| 71 73 2e 20 28 31 31 29 | 20 61 6e 64 20 28 31 34 |qs. (11)| and (14|
|00003dd0| 29 20 72 65 73 70 65 63 | 74 69 76 65 6c 79 20 61 |) respec|tively a|
|00003de0| 73 20 61 0a 66 75 6e 63 | 74 69 6f 6e 20 6f 66 20 |s a.func|tion of |
|00003df0| 24 71 24 2e 20 57 65 20 | 73 68 6f 77 20 74 68 65 |$q$. We |show the|
|00003e00| 20 72 65 73 75 6c 74 73 | 20 66 6f 72 20 74 68 65 | results| for the|
|00003e10| 20 24 31 70 5f 7b 31 2f | 32 7d 20 5c 72 69 67 68 | $1p_{1/|2} \righ|
|00003e20| 74 61 72 72 6f 77 20 32 | 73 5f 7b 31 2f 32 7d 24 |tarrow 2|s_{1/2}$|
|00003e30| 0a 61 6e 64 20 24 31 70 | 5f 7b 33 2f 32 7d 20 5c |.and $1p|_{3/2} \|
|00003e40| 72 69 67 68 74 61 72 72 | 6f 77 20 31 64 5f 7b 33 |rightarr|ow 1d_{3|
|00003e50| 2f 32 7d 24 20 74 72 61 | 6e 73 69 74 69 6f 6e 73 |/2}$ tra|nsitions|
|00003e60| 20 6f 6e 20 24 5e 7b 31 | 36 7d 4f 24 2e 20 4f 6e | on $^{1|6}O$. On|
|00003e70| 65 0a 6f 62 73 65 72 76 | 65 73 20 74 68 61 74 20 |e.observ|es that |
|00003e80| 74 68 65 20 73 74 72 65 | 6e 67 74 68 20 6f 66 20 |the stre|ngth of |
|00003e90| 74 68 65 20 6c 61 74 74 | 65 72 20 74 72 61 6e 73 |the latt|er trans|
|00003ea0| 69 74 69 6f 6e 20 69 73 | 20 61 62 6f 75 74 20 61 |ition is| about a|
|00003eb0| 20 66 61 63 74 6f 72 20 | 32 0a 6c 61 72 67 65 72 | factor |2.larger|
|00003ec0| 20 74 68 61 6e 20 66 6f | 72 20 74 68 65 20 66 69 | than fo|r the fi|
|00003ed0| 72 73 74 20 6f 6e 65 2e | 20 49 6e 20 62 6f 74 68 |rst one.| In both|
|00003ee0| 20 63 61 73 65 73 20 74 | 68 65 20 72 65 6c 61 74 | cases t|he relat|
|00003ef0| 69 76 69 73 74 69 63 0a | 63 61 6c 63 75 6c 61 74 |ivistic.|calculat|
|00003f00| 69 6f 6e 20 6f 66 20 74 | 68 65 20 6d 61 74 72 69 |ion of t|he matri|
|00003f10| 78 20 65 6c 65 6d 65 6e | 74 20 79 69 65 6c 64 73 |x elemen|t yields|
|00003f20| 20 6c 61 72 67 65 72 20 | 76 61 6c 75 65 73 20 74 | larger |values t|
|00003f30| 68 61 6e 20 74 68 65 0a | 6e 6f 6e 2d 72 65 6c 61 |han the.|non-rela|
|00003f40| 74 69 76 69 73 74 69 63 | 20 6f 6e 65 20 64 65 72 |tivistic| one der|
|00003f50| 69 76 65 64 20 66 72 6f | 6d 20 74 68 65 20 65 71 |ived fro|m the eq|
|00003f60| 75 69 76 61 6c 65 6e 74 | 20 6e 6f 6e 20 72 65 6c |uivalent| non rel|
|00003f70| 61 74 69 76 69 73 74 69 | 63 20 70 6f 74 65 6e 74 |ativisti|c potent|
|00003f80| 69 61 6c 2e 0a 57 65 20 | 61 6c 73 6f 20 6f 62 73 |ial..We |also obs|
|00003f90| 65 72 76 65 20 74 68 61 | 74 20 74 68 65 20 6d 61 |erve tha|t the ma|
|00003fa0| 74 72 69 78 20 65 6c 65 | 6d 65 6e 74 73 20 61 72 |trix ele|ments ar|
|00003fb0| 65 20 77 65 61 6b 6c 79 | 20 64 65 70 65 6e 64 65 |e weakly| depende|
|00003fc0| 6e 74 20 6f 6e 20 74 68 | 65 20 6d 6f 6d 65 6e 74 |nt on th|e moment|
|00003fd0| 75 6d 0a 74 72 61 6e 73 | 66 65 72 20 24 71 24 20 |um.trans|fer $q$ |
|00003fe0| 75 70 20 74 6f 20 76 61 | 6c 75 65 73 20 6f 66 20 |up to va|lues of |
|00003ff0| 24 71 20 5c 73 69 6d 65 | 71 20 31 30 30 5c 3a 4d |$q \sime|q 100\:M|
|00004000| 65 56 2f 63 24 2e 20 49 | 6e 20 66 69 67 2e 20 33 |eV/c$. I|n fig. 3|
|00004010| 20 77 65 0a 73 68 6f 77 | 20 74 68 65 20 72 61 74 | we.show| the rat|
|00004020| 69 6f 20 6f 66 20 74 68 | 65 20 72 65 6c 61 74 69 |io of th|e relati|
|00004030| 76 69 73 74 69 63 20 76 | 65 72 73 75 73 20 6e 6f |vistic v|ersus no|
|00004040| 6e 20 72 65 6c 61 74 69 | 76 69 73 74 69 63 20 6d |n relati|vistic m|
|00004050| 61 74 72 69 78 20 65 6c | 65 6d 65 6e 74 73 20 61 |atrix el|ements a|
|00004060| 73 0a 61 20 66 75 6e 63 | 74 69 6f 6e 20 6f 66 20 |s.a func|tion of |
|00004070| 24 71 24 20 66 6f 72 20 | 74 68 65 20 74 77 6f 20 |$q$ for |the two |
|00004080| 74 72 61 6e 73 69 74 69 | 6f 6e 73 20 69 6e 20 24 |transiti|ons in $|
|00004090| 5e 7b 31 36 7d 4f 24 2e | 0a 54 68 65 20 76 61 6c |^{16}O$.|.The val|
|000040a0| 75 65 73 20 6f 66 20 74 | 68 65 20 72 61 74 69 6f |ues of t|he ratio|
|000040b0| 73 20 61 74 20 24 71 3d | 30 24 2c 20 72 65 6c 65 |s at $q=|0$, rele|
|000040c0| 76 61 6e 74 20 74 6f 20 | 24 5c 62 65 74 61 24 20 |vant to |$\beta$ |
|000040d0| 64 65 63 61 79 2c 20 61 | 72 65 20 61 62 6f 75 74 |decay, a|re about|
|000040e0| 20 31 2e 33 33 0a 61 6e | 64 20 31 2e 32 30 20 66 | 1.33.an|d 1.20 f|
|000040f0| 6f 72 20 74 68 65 20 24 | 31 70 5f 7b 31 2f 32 7d |or the $|1p_{1/2}|
|00004100| 20 5c 72 69 67 68 74 61 | 72 72 6f 77 20 32 73 5f | \righta|rrow 2s_|
|00004110| 7b 31 2f 32 7d 24 20 61 | 6e 64 20 24 31 70 5f 7b |{1/2}$ a|nd $1p_{|
|00004120| 33 2f 32 7d 0a 5c 72 69 | 67 68 74 61 72 72 6f 77 |3/2}.\ri|ghtarrow|
|00004130| 20 31 64 5f 7b 33 2f 32 | 7d 24 20 74 72 61 6e 73 | 1d_{3/2|}$ trans|
|00004140| 69 74 69 6f 6e 73 2c 20 | 72 65 73 70 65 63 74 69 |itions, |respecti|
|00004150| 76 65 6c 79 2e 0a 0a 54 | 68 65 20 73 74 72 65 6e |vely...T|he stren|
|00004160| 67 74 68 20 6f 66 20 24 | 5c 53 69 67 6d 61 20 5e |gth of $|\Sigma ^|
|00004170| 7b 73 7d 0a 28 72 5c 3a | 29 24 20 66 72 6f 6d 20 |{s}.(r\:|)$ from |
|00004180| 65 71 2e 20 28 36 29 20 | 61 74 20 24 72 20 3d 30 |eq. (6) |at $r =0|
|00004190| 24 20 69 73 20 69 6e 20 | 6f 75 72 20 63 61 73 65 |$ is in |our case|
|000041a0| 20 24 5c 53 69 67 6d 61 | 5e 7b 73 7d 20 5c 73 69 | $\Sigma|^{s} \si|
|000041b0| 6d 65 71 20 2d 20 33 38 | 34 5c 3a 20 20 0a 4d 65 |meq - 38|4\: .Me|
|000041c0| 56 24 2c 20 63 6c 6f 73 | 65 20 74 6f 20 74 68 65 |V$, clos|e to the|
|000041d0| 20 76 61 6c 75 65 20 74 | 79 70 69 63 61 6c 20 66 | value t|ypical f|
|000041e0| 6f 72 20 6e 75 63 6c 65 | 61 72 20 6d 61 74 74 65 |or nucle|ar matte|
|000041f0| 72 20 61 74 20 73 61 74 | 75 72 61 74 69 6f 6e 20 |r at sat|uration |
|00004200| 28 0a 24 5c 53 69 67 6d | 61 5e 7b 73 7d 20 5c 73 |(.$\Sigm|a^{s} \s|
|00004210| 69 6d 65 71 20 2d 20 34 | 30 30 5c 3a 20 20 4d 65 |imeq - 4|00\: Me|
|00004220| 56 24 29 20 77 68 69 63 | 68 20 77 65 20 68 61 76 |V$) whic|h we hav|
|00004230| 65 20 63 6f 6e 73 69 64 | 65 72 65 64 20 69 6e 20 |e consid|ered in |
|00004240| 6f 75 72 0a 65 73 74 69 | 6d 61 74 65 73 20 6f 66 |our.esti|mates of|
|00004250| 20 73 65 63 74 69 6f 6e | 20 32 2e 20 49 6e 20 74 | section| 2. In t|
|00004260| 68 65 20 70 65 72 74 75 | 72 62 61 74 69 76 65 20 |he pertu|rbative |
|00004270| 61 70 70 72 6f 61 63 68 | 20 6f 66 20 73 65 63 74 |approach| of sect|
|00004280| 69 6f 6e 20 32 20 77 65 | 20 77 6f 75 6c 64 0a 68 |ion 2 we| would.h|
|00004290| 61 76 65 20 6f 62 74 61 | 69 6e 65 64 20 61 20 72 |ave obta|ined a r|
|000042a0| 61 74 69 6f 20 6f 66 20 | 31 2e 34 31 20 77 68 65 |atio of |1.41 whe|
|000042b0| 72 65 61 73 20 74 68 65 | 20 6e 6f 6e 20 70 65 72 |reas the| non per|
|000042c0| 74 75 72 62 61 74 69 76 | 65 20 6e 75 63 6c 65 61 |turbativ|e nuclea|
|000042d0| 72 0a 6d 61 74 74 65 72 | 20 65 73 74 69 6d 61 74 |r.matter| estimat|
|000042e0| 65 20 77 6f 75 6c 64 20 | 65 76 65 6e 20 79 69 65 |e would |even yie|
|000042f0| 6c 64 20 61 20 72 61 74 | 69 6f 20 6f 66 20 31 2e |ld a rat|io of 1.|
|00004300| 36 39 20 66 6f 72 20 74 | 68 69 73 20 76 61 6c 75 |69 for t|his valu|
|00004310| 65 20 6f 66 0a 24 5c 53 | 69 67 6d 61 5e 7b 73 7d |e of.$\S|igma^{s}|
|00004320| 24 2e 20 20 57 65 20 63 | 61 6e 20 73 65 65 20 74 |$. We c|an see t|
|00004330| 68 61 74 20 74 68 65 20 | 63 61 6c 63 75 6c 61 74 |hat the |calculat|
|00004340| 69 6f 6e 73 20 70 65 72 | 66 6f 72 6d 65 64 0a 64 |ions per|formed.d|
|00004350| 69 72 65 63 74 6c 79 20 | 66 6f 72 20 74 68 65 20 |irectly |for the |
|00004360| 66 69 6e 69 74 65 20 6e | 75 63 6c 65 69 20 79 69 |finite n|uclei yi|
|00004370| 65 6c 64 73 20 72 65 73 | 75 6c 74 73 20 77 68 69 |elds res|ults whi|
|00004380| 63 68 20 61 72 65 20 73 | 69 67 6e 69 66 69 63 61 |ch are s|ignifica|
|00004390| 6e 74 6c 79 0a 73 6d 61 | 6c 6c 65 72 20 74 68 61 |ntly.sma|ller tha|
|000043a0| 6e 20 74 68 6f 73 65 20 | 65 73 74 69 6d 61 74 65 |n those |estimate|
|000043b0| 73 20 66 72 6f 6d 20 6e | 75 63 6c 65 61 72 20 6d |s from n|uclear m|
|000043c0| 61 74 74 65 72 2e 20 54 | 68 65 20 72 65 61 73 6f |atter. T|he reaso|
|000043d0| 6e 20 66 6f 72 20 74 68 | 69 73 0a 64 69 66 66 65 |n for th|is.diffe|
|000043e0| 72 65 6e 63 65 20 69 73 | 20 74 68 65 20 66 61 63 |rence is| the fac|
|000043f0| 74 20 74 68 61 74 20 74 | 68 65 20 63 61 6c 63 75 |t that t|he calcu|
|00004400| 6c 61 74 69 6f 6e 20 6f | 66 20 6d 61 74 72 69 78 |lation o|f matrix|
|00004410| 20 65 6c 65 6d 65 6e 74 | 73 20 66 6f 72 20 0a 66 | element|s for .f|
|00004420| 69 6e 69 74 65 20 6e 75 | 63 6c 65 69 20 72 65 71 |inite nu|clei req|
|00004430| 75 69 72 65 73 20 61 20 | 72 61 64 69 61 6c 20 69 |uires a |radial i|
|00004440| 6e 74 65 67 72 61 74 69 | 6f 6e 20 77 68 69 63 68 |ntegrati|on which|
|00004450| 20 69 73 20 64 6f 6d 69 | 6e 61 74 65 64 20 62 79 | is domi|nated by|
|00004460| 20 74 68 65 0a 69 6e 74 | 65 67 72 61 6e 64 20 61 | the.int|egrand a|
|00004470| 74 20 74 68 65 20 73 75 | 72 66 61 63 65 2e 20 54 |t the su|rface. T|
|00004480| 68 69 73 20 69 73 20 64 | 75 65 20 74 6f 20 74 68 |his is d|ue to th|
|00004490| 65 20 66 61 63 74 20 74 | 68 61 74 20 74 68 65 20 |e fact t|hat the |
|000044a0| 69 6e 74 65 67 72 61 6e | 64 0a 63 6f 6e 74 61 69 |integran|d.contai|
|000044b0| 6e 73 20 61 20 70 72 6f | 64 75 63 74 20 6f 66 20 |ns a pro|duct of |
|000044c0| 77 61 76 65 66 75 6e 63 | 74 69 6f 6e 73 20 66 6f |wavefunc|tions fo|
|000044d0| 72 20 61 20 70 61 72 74 | 69 63 6c 65 2d 20 61 6e |r a part|icle- an|
|000044e0| 64 20 61 20 68 6f 6c 65 | 2d 73 74 61 74 65 2e 0a |d a hole|-state..|
|000044f0| 54 68 65 20 6e 75 63 6c | 65 61 72 20 64 65 6e 73 |The nucl|ear dens|
|00004500| 69 74 79 20 61 74 20 74 | 68 65 20 73 75 72 66 61 |ity at t|he surfa|
|00004510| 63 65 2c 20 68 6f 77 65 | 76 65 72 2c 20 69 73 20 |ce, howe|ver, is |
|00004520| 73 6d 61 6c 6c 65 72 20 | 74 68 61 6e 20 66 6f 72 |smaller |than for|
|00004530| 20 24 72 3d 30 24 0a 6f | 72 20 74 68 65 20 73 61 | $r=0$.o|r the sa|
|00004540| 74 75 72 61 74 69 6f 6e | 20 64 65 6e 73 69 74 79 |turation| density|
|00004550| 20 6f 66 20 6e 75 63 6c | 65 61 72 20 6d 61 74 74 | of nucl|ear matt|
|00004560| 65 72 2e 20 43 6f 6e 73 | 65 71 75 65 6e 74 6c 79 |er. Cons|equently|
|00004570| 20 61 6c 73 6f 20 74 68 | 65 0a 72 65 6c 61 74 69 | also th|e.relati|
|00004580| 76 69 73 74 69 63 20 65 | 66 66 65 63 74 73 20 64 |vistic e|ffects d|
|00004590| 75 65 20 73 63 61 6c 61 | 72 20 70 6f 74 65 6e 74 |ue scala|r potent|
|000045a0| 69 61 6c 20 24 5c 53 69 | 67 6d 61 5e 73 24 2c 20 |ial $\Si|gma^s$, |
|000045b0| 6c 65 61 64 69 6e 67 20 | 74 6f 20 61 6e 0a 65 6e |leading |to an.en|
|000045c0| 68 61 63 65 6d 65 6e 74 | 20 6f 66 20 74 68 65 20 |hacement| of the |
|000045d0| 73 6d 61 6c 6c 20 63 6f | 6d 70 6f 6e 65 6e 74 20 |small co|mponent |
|000045e0| 6f 66 20 74 68 65 20 44 | 69 72 61 63 20 73 70 69 |of the D|irac spi|
|000045f0| 6e 6f 72 2c 20 77 69 6c | 6c 20 62 65 20 73 6d 61 |nor, wil|l be sma|
|00004600| 6c 6c 65 72 0a 61 74 20 | 74 68 65 73 65 20 72 65 |ller.at |these re|
|00004610| 6c 65 76 61 6e 74 20 64 | 65 6e 73 69 74 69 65 73 |levant d|ensities|
|00004620| 20 74 68 61 6e 20 61 74 | 20 74 68 65 20 63 65 6e | than at| the cen|
|00004630| 74 65 72 20 6f 66 20 74 | 68 65 20 6e 75 63 6c 65 |ter of t|he nucle|
|00004640| 75 73 20 6f 72 20 61 74 | 20 74 68 65 0a 73 61 74 |us or at| the.sat|
|00004650| 75 72 61 74 69 6f 6e 20 | 64 65 6e 73 69 74 79 20 |uration |density |
|00004660| 6f 66 20 6e 75 63 6c 65 | 61 72 20 6d 61 74 74 65 |of nucle|ar matte|
|00004670| 72 2e 20 53 69 6d 69 6c | 61 72 2c 20 61 6c 74 68 |r. Simil|ar, alth|
|00004680| 6f 75 67 68 20 61 20 62 | 69 74 20 73 6d 61 6c 6c |ough a b|it small|
|00004690| 65 72 2c 0a 72 65 64 75 | 63 74 69 6f 6e 73 20 77 |er,.redu|ctions w|
|000046a0| 69 74 68 20 72 65 73 70 | 65 63 74 20 74 6f 20 74 |ith resp|ect to t|
|000046b0| 68 65 20 6e 75 63 6c 65 | 61 72 20 6d 61 74 74 65 |he nucle|ar matte|
|000046c0| 72 20 61 70 70 72 6f 61 | 63 68 20 77 65 72 65 20 |r approa|ch were |
|000046d0| 61 6c 73 6f 20 66 6f 75 | 6e 64 0a 69 6e 20 74 68 |also fou|nd.in th|
|000046e0| 65 20 66 69 6e 69 74 65 | 20 6e 75 63 6c 65 69 20 |e finite| nuclei |
|000046f0| 70 65 72 74 75 72 62 61 | 74 69 76 65 20 61 70 70 |perturba|tive app|
|00004700| 72 6f 61 63 68 20 6f 66 | 20 5c 63 69 74 65 7b 38 |roach of| \cite{8|
|00004710| 7d 2c 20 74 68 6f 75 67 | 68 20 74 68 65 0a 72 65 |}, thoug|h the.re|
|00004720| 73 75 6c 74 73 20 77 65 | 72 65 20 66 6f 75 6e 64 |sults we|re found|
|00004730| 20 74 6f 20 62 65 20 73 | 65 6e 73 69 74 69 76 65 | to be s|ensitive|
|00004740| 20 74 6f 20 74 68 65 20 | 73 68 6f 72 74 20 72 61 | to the |short ra|
|00004750| 6e 67 65 20 63 6f 72 72 | 65 6c 61 74 69 6f 6e 73 |nge corr|elations|
|00004760| 0a 61 73 73 75 6d 65 64 | 2e 20 48 65 72 65 20 73 |.assumed|. Here s|
|00004770| 68 6f 72 74 20 72 61 6e | 67 65 20 63 6f 72 72 65 |hort ran|ge corre|
|00004780| 6c 61 74 69 6f 6e 73 20 | 61 72 65 20 69 6e 63 6f |lations |are inco|
|00004790| 72 70 6f 72 61 74 65 64 | 20 69 6e 20 74 68 65 20 |rporated| in the |
|000047a0| 70 72 6f 62 6c 65 6d 0a | 69 6e 20 61 20 73 65 6c |problem.|in a sel|
|000047b0| 66 63 6f 6e 73 69 73 74 | 65 6e 74 20 77 61 79 2e |fconsist|ent way.|
|000047c0| 0a 0a 46 72 6f 6d 20 74 | 68 65 73 65 20 63 6f 6e |..From t|hese con|
|000047d0| 73 69 64 65 72 61 74 69 | 6f 6e 73 20 77 65 20 63 |siderati|ons we c|
|000047e0| 61 6e 20 61 6c 73 6f 20 | 75 6e 64 65 72 73 74 61 |an also |understa|
|000047f0| 6e 64 20 74 68 61 74 20 | 74 68 65 20 72 65 6c 61 |nd that |the rela|
|00004800| 74 69 76 69 73 74 69 63 | 0a 72 65 6e 6f 72 6d 61 |tivistic|.renorma|
|00004810| 6c 69 7a 61 74 69 6f 6e | 20 6f 66 20 74 68 65 20 |lization| of the |
|00004820| 61 78 69 61 6c 20 63 68 | 61 72 67 65 20 6f 70 65 |axial ch|arge ope|
|00004830| 72 61 74 6f 72 20 69 6e | 20 74 68 65 20 63 61 73 |rator in| the cas|
|00004840| 65 20 6f 66 20 74 68 65 | 0a 24 31 70 5f 7b 33 2f |e of the|.$1p_{3/|
|00004850| 32 7d 20 5c 72 69 67 68 | 74 61 72 72 6f 77 20 31 |2} \righ|tarrow 1|
|00004860| 64 5f 7b 33 2f 32 7d 24 | 20 74 72 61 6e 73 69 74 |d_{3/2}$| transit|
|00004870| 69 6f 6e 0a 69 73 20 73 | 6d 61 6c 6c 65 72 20 74 |ion.is s|maller t|
|00004880| 68 61 6e 20 74 68 65 20 | 6f 6e 65 20 69 6e 20 74 |han the |one in t|
|00004890| 68 65 20 24 31 70 5f 7b | 31 2f 32 7d 20 5c 72 69 |he $1p_{|1/2} \ri|
|000048a0| 67 68 74 61 72 72 6f 77 | 20 32 73 5f 7b 31 2f 32 |ghtarrow| 2s_{1/2|
|000048b0| 7d 24 20 63 61 73 65 2e | 0a 54 68 65 20 73 6d 61 |}$ case.|.The sma|
|000048c0| 6c 6c 65 72 20 72 65 6e | 6f 72 6d 61 6c 69 7a 61 |ller ren|ormaliza|
|000048d0| 74 69 6f 6e 0a 69 6e 20 | 74 68 65 20 63 61 73 65 |tion.in |the case|
|000048e0| 20 6f 66 20 74 68 65 20 | 24 31 70 5f 7b 33 2f 32 | of the |$1p_{3/2|
|000048f0| 7d 20 5c 72 69 67 68 74 | 61 72 72 6f 77 20 31 64 |} \right|arrow 1d|
|00004900| 5f 7b 33 2f 32 7d 24 20 | 74 72 61 6e 73 69 74 69 |_{3/2}$ |transiti|
|00004910| 6f 6e 20 63 61 6e 20 62 | 65 20 0a 69 6e 74 65 72 |on can b|e .inter|
|00004920| 70 72 65 74 65 64 20 69 | 6e 20 74 65 72 6d 73 20 |preted i|n terms |
|00004930| 6f 66 20 74 68 65 20 63 | 65 6e 74 72 69 66 75 67 |of the c|entrifug|
|00004940| 61 6c 20 62 61 72 72 69 | 65 72 20 77 68 69 63 68 |al barri|er which|
|00004950| 20 70 75 73 68 65 73 20 | 74 68 65 20 24 64 24 20 | pushes |the $d$ |
|00004960| 73 74 61 74 65 0a 6d 6f | 72 65 20 74 6f 20 74 68 |state.mo|re to th|
|00004970| 65 20 73 75 72 66 61 63 | 65 20 6f 66 20 74 68 65 |e surfac|e of the|
|00004980| 20 6e 75 63 6c 65 75 73 | 20 77 68 65 72 65 20 74 | nucleus| where t|
|00004990| 68 65 20 70 6f 74 65 6e | 74 69 61 6c 20 24 5c 53 |he poten|tial $\S|
|000049a0| 69 67 6d 61 5e 7b 73 7d | 24 20 69 73 0a 77 65 61 |igma^{s}|$ is.wea|
|000049b0| 6b 65 72 2e 20 46 75 72 | 74 68 65 72 6d 6f 72 65 |ker. Fur|thermore|
|000049c0| 20 77 65 20 6f 62 73 65 | 72 76 65 20 61 20 73 6c | we obse|rve a sl|
|000049d0| 69 67 68 74 20 69 6e 63 | 72 65 61 73 65 20 6f 66 |ight inc|rease of|
|000049e0| 20 74 68 65 20 72 65 6e | 6f 72 6d 61 6c 69 7a 61 | the ren|ormaliza|
|000049f0| 74 69 6f 6e 0a 61 73 20 | 61 20 66 75 6e 63 74 69 |tion.as |a functi|
|00004a00| 6f 6e 20 6f 66 20 24 71 | 24 2e 20 41 74 20 61 20 |on of $q|$. At a |
|00004a10| 6c 61 72 67 65 72 20 6d | 6f 6d 65 6e 74 75 6d 20 |larger m|omentum |
|00004a20| 74 72 61 6e 73 66 65 72 | 20 6f 6e 65 20 74 65 6e |transfer| one ten|
|00004a30| 64 73 20 74 6f 20 70 72 | 6f 62 65 0a 6d 6f 72 65 |ds to pr|obe.more|
|00004a40| 20 74 68 65 20 68 69 67 | 68 65 72 20 64 65 6e 73 | the hig|her dens|
|00004a50| 69 74 69 65 73 20 69 6e | 20 74 68 65 20 69 6e 74 |ities in| the int|
|00004a60| 65 72 69 6f 72 20 6f 66 | 20 74 68 65 20 6e 75 63 |erior of| the nuc|
|00004a70| 6c 65 75 73 2e 0a 0a 0a | 54 68 65 73 65 20 72 65 |leus....|These re|
|00004a80| 73 75 6c 74 73 20 61 72 | 65 20 63 6f 6e 66 69 72 |sults ar|e confir|
|00004a90| 6d 65 64 20 62 79 20 6f | 75 72 20 63 61 6c 63 75 |med by o|ur calcu|
|00004aa0| 6c 61 74 69 6f 6e 73 20 | 66 6f 72 20 74 68 65 20 |lations |for the |
|00004ab0| 6e 75 63 6c 65 75 73 20 | 24 5e 7b 34 30 7d 43 61 |nucleus |$^{40}Ca|
|00004ac0| 24 2e 0a 49 6e 20 66 69 | 67 2e 20 34 20 77 65 20 |$..In fi|g. 4 we |
|00004ad0| 73 68 6f 77 20 74 68 65 | 20 72 65 6c 61 74 69 76 |show the| relativ|
|00004ae0| 69 73 74 69 63 20 61 6e | 64 20 6e 6f 6e 20 72 65 |istic an|d non re|
|00004af0| 6c 61 74 69 76 69 73 74 | 69 63 20 6d 61 74 72 69 |lativist|ic matri|
|00004b00| 78 20 65 6c 65 6d 65 6e | 74 73 20 66 6f 72 0a 74 |x elemen|ts for.t|
|00004b10| 68 65 20 24 31 64 5f 7b | 33 2f 32 7d 20 5c 72 69 |he $1d_{|3/2} \ri|
|00004b20| 67 68 74 61 72 72 6f 77 | 20 32 70 5f 7b 33 2f 32 |ghtarrow| 2p_{3/2|
|00004b30| 7d 24 20 74 72 61 6e 73 | 69 74 69 6f 6e 20 69 6e |}$ trans|ition in|
|00004b40| 20 24 5e 7b 34 30 7d 43 | 61 24 20 61 6e 64 20 69 | $^{40}C|a$ and i|
|00004b50| 6e 20 66 69 67 2e 0a 35 | 20 74 68 65 0a 72 61 74 |n fig..5| the.rat|
|00004b60| 69 6f 20 6f 66 20 74 68 | 65 20 72 65 6c 61 74 69 |io of th|e relati|
|00004b70| 76 69 73 74 69 63 20 74 | 6f 20 6e 6f 6e 20 72 65 |vistic t|o non re|
|00004b80| 6c 61 74 69 76 69 73 74 | 69 63 20 6d 61 74 72 69 |lativist|ic matri|
|00004b90| 78 20 65 6c 65 6d 65 6e | 74 73 2e 0a 54 68 65 20 |x elemen|ts..The |
|00004ba0| 72 61 74 69 6f 20 69 73 | 20 6f 66 0a 74 68 65 20 |ratio is| of.the |
|00004bb0| 6f 72 64 65 72 20 6f 66 | 20 31 2e 32 33 2c 20 20 |order of| 1.23, |
|00004bc0| 72 61 74 68 65 72 20 69 | 6e 64 65 70 65 6e 64 65 |rather i|ndepende|
|00004bd0| 6e 74 20 6f 6e 20 74 68 | 65 20 6d 6f 6d 65 6e 74 |nt on th|e moment|
|00004be0| 75 6d 20 74 72 61 6e 73 | 66 65 72 2e 20 54 68 69 |um trans|fer. Thi|
|00004bf0| 73 0a 72 65 73 75 6c 74 | 20 66 6f 72 20 74 68 65 |s.result| for the|
|00004c00| 20 72 65 6e 6f 72 6d 61 | 6c 69 7a 61 74 69 6f 6e | renorma|lization|
|00004c10| 20 6f 66 20 74 68 65 20 | 61 78 69 61 6c 20 63 68 | of the |axial ch|
|00004c20| 61 72 67 65 20 69 73 20 | 76 65 72 79 20 73 69 6d |arge is |very sim|
|00004c30| 69 6c 61 72 20 0a 62 75 | 74 20 73 6c 69 67 68 74 |ilar .bu|t slight|
|00004c40| 6c 79 20 6c 61 72 67 65 | 72 20 74 68 61 6e 20 74 |ly large|r than t|
|00004c50| 68 65 20 72 61 74 69 6f | 20 6f 62 74 61 69 6e 65 |he ratio| obtaine|
|00004c60| 64 20 66 6f 72 20 74 68 | 65 20 24 31 70 5f 7b 33 |d for th|e $1p_{3|
|00004c70| 2f 32 7d 20 5c 72 69 67 | 68 74 61 72 72 6f 77 0a |/2} \rig|htarrow.|
|00004c80| 31 64 5f 7b 33 2f 32 7d | 24 20 69 6e 20 24 5e 7b |1d_{3/2}|$ in $^{|
|00004c90| 31 36 7d 4f 24 2e 20 4f | 6e 63 65 20 61 67 61 69 |16}O$. O|nce agai|
|00004ca0| 6e 20 74 68 65 20 63 65 | 6e 74 72 69 66 75 67 61 |n the ce|ntrifuga|
|00004cb0| 6c 20 62 61 72 72 69 65 | 72 20 69 73 20 72 65 73 |l barrie|r is res|
|00004cc0| 70 6f 6e 73 69 62 6c 65 | 20 66 6f 72 20 61 0a 72 |ponsible| for a.r|
|00004cd0| 65 64 75 63 65 64 20 72 | 65 6e 6f 72 6d 61 6c 69 |educed r|enormali|
|00004ce0| 7a 61 74 69 6f 6e 20 63 | 6f 6d 70 61 72 65 64 20 |zation c|ompared |
|00004cf0| 74 6f 20 74 68 65 20 65 | 78 70 65 63 74 61 74 69 |to the e|xpectati|
|00004d00| 6f 6e 73 20 6f 66 20 6e | 75 63 6c 65 61 72 20 6d |ons of n|uclear m|
|00004d10| 61 74 74 65 72 0a 61 70 | 70 72 6f 61 63 68 2e 0a |atter.ap|proach..|
|00004d20| 0a 5c 73 65 63 74 69 6f | 6e 7b 43 6f 6e 63 6c 75 |.\sectio|n{Conclu|
|00004d30| 73 69 6f 6e 73 7d 0a 0a | 57 65 20 68 61 76 65 20 |sions}..|We have |
|00004d40| 61 6e 61 6c 79 7a 65 64 | 20 69 6e 20 64 65 74 61 |analyzed| in deta|
|00004d50| 69 6c 20 74 68 65 20 72 | 65 6e 6f 72 6d 61 6c 69 |il the r|enormali|
|00004d60| 7a 61 74 69 6f 6e 20 6f | 66 20 74 68 65 20 61 78 |zation o|f the ax|
|00004d70| 69 61 6c 20 63 68 61 72 | 67 65 20 69 6e 20 6e 75 |ial char|ge in nu|
|00004d80| 63 6c 65 69 0a 62 79 20 | 65 76 61 6c 75 61 74 69 |clei.by |evaluati|
|00004d90| 6e 67 20 74 68 65 20 6d | 61 74 72 69 78 20 65 6c |ng the m|atrix el|
|00004da0| 65 6d 65 6e 74 73 20 6f | 66 20 74 68 65 20 61 78 |ements o|f the ax|
|00004db0| 69 61 6c 20 63 68 61 72 | 67 65 20 6f 70 65 72 61 |ial char|ge opera|
|00004dc0| 74 6f 72 20 77 69 74 68 | 20 0a 72 65 6c 61 74 69 |tor with| .relati|
|00004dd0| 76 69 73 74 69 63 20 77 | 61 76 65 20 66 75 6e 63 |vistic w|ave func|
|00004de0| 74 69 6f 6e 73 2c 20 73 | 6f 6c 75 74 69 6f 6e 73 |tions, s|olutions|
|00004df0| 20 6f 66 20 74 68 65 20 | 44 69 72 61 63 20 65 71 | of the |Dirac eq|
|00004e00| 75 61 74 69 6f 6e 20 77 | 69 74 68 20 74 68 65 0a |uation w|ith the.|
|00004e10| 72 65 6c 61 74 69 76 69 | 73 74 69 63 20 70 6f 74 |relativi|stic pot|
|00004e20| 65 6e 74 69 61 6c 2c 20 | 61 6e 64 20 77 69 74 68 |ential, |and with|
|00004e30| 20 6e 6f 6e 20 72 65 6c | 61 74 69 76 69 73 74 69 | non rel|ativisti|
|00004e40| 63 20 77 61 76 65 20 66 | 75 6e 63 74 69 6f 6e 2c |c wave f|unction,|
|00004e50| 20 73 6f 6c 75 74 69 6f | 6e 73 20 6f 66 0a 74 68 | solutio|ns of.th|
|00004e60| 65 20 53 63 68 72 5c 22 | 6f 64 69 6e 67 65 72 20 |e Schr\"|odinger |
|00004e70| 65 71 75 61 74 69 6f 6e | 20 77 69 74 68 20 61 6e |equation| with an|
|00004e80| 20 65 71 75 69 76 61 6c | 65 6e 74 20 6e 6f 6e 20 | equival|ent non |
|00004e90| 72 65 6c 61 74 69 76 69 | 73 74 69 63 20 70 6f 74 |relativi|stic pot|
|00004ea0| 65 6e 74 69 61 6c 2e 20 | 57 65 20 0a 68 61 76 65 |ential. |We .have|
|00004eb0| 20 66 6f 75 6e 64 20 72 | 65 6e 6f 72 6d 61 6c 69 | found r|enormali|
|00004ec0| 7a 61 74 69 6f 6e 20 65 | 66 66 65 63 74 73 20 64 |zation e|ffects d|
|00004ed0| 75 65 20 74 6f 20 74 68 | 65 20 75 73 65 20 6f 66 |ue to th|e use of|
|00004ee0| 20 74 68 65 20 72 65 6c | 61 74 69 76 69 73 74 69 | the rel|ativisti|
|00004ef0| 63 20 77 61 76 65 20 0a | 66 75 6e 63 74 69 6f 6e |c wave .|function|
|00004f00| 73 2c 20 65 6e 68 61 6e | 63 69 6e 67 20 74 68 65 |s, enhan|cing the|
|00004f10| 20 61 78 69 61 6c 20 63 | 68 61 72 67 65 20 69 6e | axial c|harge in|
|00004f20| 20 74 68 65 20 64 69 72 | 65 63 74 69 6f 6e 20 66 | the dir|ection f|
|00004f30| 6f 75 6e 64 20 69 6e 20 | 65 61 72 6c 69 65 72 20 |ound in |earlier |
|00004f40| 0a 70 65 72 74 75 72 62 | 61 74 69 76 65 20 61 70 |.perturb|ative ap|
|00004f50| 70 72 6f 61 63 68 65 73 | 20 66 6f 72 20 6e 75 63 |proaches| for nuc|
|00004f60| 6c 65 61 72 20 6d 61 74 | 74 65 72 2e 0a 48 6f 77 |lear mat|ter..How|
|00004f70| 65 76 65 72 2c 20 74 68 | 65 20 71 75 61 6e 74 69 |ever, th|e quanti|
|00004f80| 74 61 74 69 76 65 20 72 | 65 73 75 6c 74 73 20 64 |tative r|esults d|
|00004f90| 69 66 66 65 72 20 66 72 | 6f 6d 20 74 68 65 20 65 |iffer fr|om the e|
|00004fa0| 73 74 69 6d 61 74 65 73 | 20 64 65 72 69 76 65 64 |stimates| derived|
|00004fb0| 0a 66 6f 72 20 6e 75 63 | 6c 65 61 72 20 6d 61 74 |.for nuc|lear mat|
|00004fc0| 74 65 72 20 73 69 67 6e | 69 66 69 63 61 6e 74 6c |ter sign|ificantl|
|00004fd0| 79 2e 20 55 73 69 6e 67 | 20 74 68 65 20 47 2d 6d |y. Using| the G-m|
|00004fe0| 61 74 72 69 78 20 64 65 | 72 69 76 65 64 20 66 72 |atrix de|rived fr|
|00004ff0| 6f 6d 20 61 0a 72 65 61 | 6c 69 73 74 69 63 20 6d |om a.rea|listic m|
|00005000| 65 73 6f 6e 20 65 78 63 | 68 61 6e 67 65 20 6d 6f |eson exc|hange mo|
|00005010| 64 65 6c 20 6f 66 20 74 | 68 65 20 4e 4e 20 69 6e |del of t|he NN in|
|00005020| 74 65 72 61 63 74 69 6f | 6e 20 5c 63 69 74 65 7b |teractio|n \cite{|
|00005030| 72 75 70 72 7d 20 61 0a | 70 65 72 74 75 72 62 61 |rupr} a.|perturba|
|00005040| 74 69 76 65 20 65 73 74 | 69 6d 61 74 65 20 6f 66 |tive est|imate of|
|00005050| 20 74 68 65 20 68 65 61 | 76 79 20 6d 65 73 6f 6e | the hea|vy meson|
|00005060| 20 65 78 63 68 61 6e 67 | 65 20 63 75 72 72 65 6e | exchang|e curren|
|00005070| 74 20 63 6f 6e 74 72 69 | 62 75 74 69 6f 6e 0a 74 |t contri|bution.t|
|00005080| 6f 20 74 68 65 20 61 78 | 69 61 6c 20 63 68 61 72 |o the ax|ial char|
|00005090| 67 65 20 61 74 20 6e 75 | 63 6c 65 61 72 20 6d 61 |ge at nu|clear ma|
|000050a0| 74 74 65 72 20 73 61 74 | 75 72 61 74 69 6f 6e 20 |tter sat|uration |
|000050b0| 64 65 6e 73 69 74 79 20 | 5c 63 69 74 65 7b 37 61 |density |\cite{7a|
|000050c0| 7d 20 77 6f 75 6c 64 0a | 79 69 65 6c 64 20 61 20 |} would.|yield a |
|000050d0| 72 65 6e 6f 72 6d 61 6c | 69 7a 61 74 69 6f 6e 20 |renormal|ization |
|000050e0| 66 61 63 74 6f 72 20 6f | 66 20 31 2e 34 20 61 6e |factor o|f 1.4 an|
|000050f0| 64 20 61 20 6e 6f 6e 20 | 70 65 72 74 75 72 62 61 |d a non |perturba|
|00005100| 74 69 76 65 20 20 74 72 | 65 61 74 6d 65 6e 74 0a |tive tr|eatment.|
|00005110| 77 6f 75 6c 64 20 6c 65 | 61 64 20 74 6f 20 65 6e |would le|ad to en|
|00005120| 68 61 6e 63 65 6d 65 6e | 74 20 61 73 20 6c 61 72 |hancemen|t as lar|
|00005130| 67 65 20 61 73 20 31 2e | 37 2e 20 46 6f 72 20 66 |ge as 1.|7. For f|
|00005140| 69 6e 69 74 65 20 6e 75 | 63 6c 65 69 20 74 68 65 |inite nu|clei the|
|00005150| 0a 65 6e 68 61 6e 63 65 | 6d 65 6e 74 20 66 61 63 |.enhance|ment fac|
|00005160| 74 6f 72 73 20 63 6f 6e | 73 69 64 65 72 61 62 6c |tors con|siderabl|
|00005170| 79 20 73 6d 61 6c 6c 65 | 72 2c 20 6f 66 20 74 68 |y smalle|r, of th|
|00005180| 65 20 6f 72 64 65 72 20 | 6f 66 20 31 2e 32 20 2d |e order |of 1.2 -|
|00005190| 20 31 2e 33 2e 0a 57 65 | 20 61 72 67 75 65 20 74 | 1.3..We| argue t|
|000051a0| 68 61 74 20 74 68 69 73 | 20 72 65 64 75 63 74 69 |hat this| reducti|
|000051b0| 6f 6e 20 6f 66 20 74 68 | 65 20 72 65 6e 6f 72 6d |on of th|e renorm|
|000051c0| 61 6c 69 7a 61 74 69 6f | 6e 20 65 66 66 65 63 74 |alizatio|n effect|
|000051d0| 20 69 73 20 64 75 65 20 | 74 6f 0a 74 68 65 20 73 | is due |to.the s|
|000051e0| 6d 61 6c 6c 65 72 20 64 | 65 6e 73 69 74 69 65 73 |maller d|ensities|
|000051f0| 20 61 74 20 74 68 65 20 | 73 75 72 66 61 63 65 20 | at the |surface |
|00005200| 6f 66 20 66 69 6e 69 74 | 65 20 6e 75 63 6c 65 69 |of finit|e nuclei|
|00005210| 2c 20 77 68 69 63 68 20 | 61 72 65 0a 72 65 6c 65 |, which |are.rele|
|00005220| 76 61 6e 74 20 66 6f 72 | 20 74 68 65 20 65 76 61 |vant for| the eva|
|00005230| 6c 75 61 74 69 6f 6e 20 | 6f 66 20 61 63 74 75 61 |luation |of actua|
|00005240| 6c 20 6d 61 74 72 69 78 | 20 65 6c 65 6d 65 6e 74 |l matrix| element|
|00005250| 73 2e 20 46 72 6f 6d 20 | 74 68 65 73 65 0a 63 6f |s. From |these.co|
|00005260| 6e 73 69 64 65 72 61 74 | 69 6f 6e 73 20 77 65 20 |nsiderat|ions we |
|00005270| 63 61 6e 20 61 6c 73 6f | 20 75 6e 64 65 72 73 74 |can also| underst|
|00005280| 61 6e 64 20 74 68 65 20 | 64 65 70 65 6e 64 65 6e |and the |dependen|
|00005290| 63 65 20 6f 66 20 74 68 | 65 0a 72 65 6e 6f 72 6d |ce of th|e.renorm|
|000052a0| 61 6c 69 7a 61 74 69 6f | 6e 20 66 61 63 74 6f 72 |alizatio|n factor|
|000052b0| 20 6f 6e 20 74 68 65 20 | 6d 6f 6d 65 6e 74 75 6d | on the |momentum|
|000052c0| 20 74 72 61 6e 73 66 65 | 72 20 61 6e 64 20 6f 6e | transfe|r and on|
|000052d0| 20 74 68 65 20 74 72 61 | 6e 73 69 74 69 6f 6e 0a | the tra|nsition.|
|000052e0| 61 63 74 75 61 6c 6c 79 | 20 63 6f 6e 73 69 64 65 |actually| conside|
|000052f0| 72 65 64 2e 0a 0a 54 68 | 65 20 61 6d 6f 75 6e 74 |red...Th|e amount|
|00005300| 20 6f 66 20 61 78 69 61 | 6c 20 63 68 61 72 67 65 | of axia|l charge|
|00005310| 20 72 65 6e 6f 72 6d 61 | 6c 69 7a 61 74 69 6f 6e | renorma|lization|
|00005320| 20 64 65 70 65 6e 64 73 | 20 6f 6e 20 74 68 65 20 | depends| on the |
|00005330| 6d 6f 64 65 6c 20 66 6f | 72 20 74 68 65 0a 4e 4e |model fo|r the.NN|
|00005340| 20 69 6e 74 65 72 61 63 | 74 69 6f 6e 2e 20 57 65 | interac|tion. We|
|00005350| 20 68 61 76 65 20 65 6d | 70 6c 6f 79 65 64 20 61 | have em|ployed a|
|00005360| 20 72 65 6c 61 74 69 76 | 69 73 74 69 63 20 6d 65 | relativ|istic me|
|00005370| 73 6f 6e 20 65 78 63 68 | 61 6e 67 65 20 6d 6f 64 |son exch|ange mod|
|00005380| 65 6c 0a 28 50 6f 74 65 | 6e 74 69 61 6c 20 76 65 |el.(Pote|ntial ve|
|00005390| 72 73 69 6f 6e 20 24 41 | 24 20 6f 66 20 74 68 65 |rsion $A|$ of the|
|000053a0| 20 42 6f 6e 6e 20 70 6f | 74 65 6e 74 69 61 6c 20 | Bonn po|tential |
|000053b0| 5c 63 69 74 65 7b 72 75 | 70 72 7d 29 2c 20 77 68 |\cite{ru|pr}), wh|
|000053c0| 69 63 68 20 68 61 73 0a | 62 65 65 6e 20 64 65 72 |ich has.|been der|
|000053d0| 69 76 65 64 20 74 6f 20 | 72 65 70 72 6f 64 75 63 |ived to |reproduc|
|000053e0| 65 20 4e 4e 20 73 63 61 | 74 74 65 72 69 6e 67 20 |e NN sca|ttering |
|000053f0| 64 61 74 61 2e 0a 49 74 | 20 69 73 20 66 61 69 72 |data..It| is fair|
|00005400| 20 74 6f 20 71 75 6f 74 | 65 20 61 74 20 74 68 69 | to quot|e at thi|
|00005410| 73 20 70 6f 69 6e 74 20 | 74 68 61 74 20 75 73 69 |s point |that usi|
|00005420| 6e 67 20 74 68 69 73 20 | 70 6f 74 65 6e 74 69 61 |ng this |potentia|
|00005430| 6c 20 69 6e 20 74 68 65 | 0a 70 72 65 73 65 6e 74 |l in the|.present|
|00005440| 20 63 61 73 65 20 74 68 | 65 72 65 20 69 73 20 74 | case th|ere is t|
|00005450| 68 65 20 61 73 73 75 6d | 70 74 69 6f 6e 20 74 68 |he assum|ption th|
|00005460| 61 74 20 74 68 65 0a 72 | 65 6c 61 74 69 76 69 73 |at the.r|elativis|
|00005470| 74 69 63 20 70 6f 74 65 | 6e 74 69 61 6c 20 63 6f |tic pote|ntial co|
|00005480| 6e 73 74 72 75 63 74 65 | 64 20 74 6f 20 72 65 70 |nstructe|d to rep|
|00005490| 72 6f 64 75 63 65 20 24 | 4e 4e 24 20 73 63 61 74 |roduce $|NN$ scat|
|000054a0| 74 65 72 69 6e 67 20 6f | 66 20 6f 6e 20 73 68 65 |tering o|f on she|
|000054b0| 6c 6c 0a 6e 75 63 6c 65 | 6f 6e 73 20 63 61 6e 20 |ll.nucle|ons can |
|000054c0| 62 65 20 65 78 74 72 61 | 70 6f 6c 61 74 65 64 20 |be extra|polated |
|000054d0| 74 6f 20 64 65 61 6c 20 | 77 69 74 68 20 6e 65 67 |to deal |with neg|
|000054e0| 61 74 69 76 65 20 65 6e | 65 72 67 79 20 73 74 61 |ative en|ergy sta|
|000054f0| 74 65 73 20 61 6e 64 20 | 6f 6e 20 73 68 65 6c 6c |tes and |on shell|
|00005500| 0a 61 6e 64 20 6f 66 66 | 20 73 68 65 6c 6c 20 63 |.and off| shell c|
|00005510| 6f 6e 64 69 74 69 6f 6e | 73 2e 20 54 68 69 73 20 |ondition|s. This |
|00005520| 69 73 20 63 65 72 74 61 | 69 6e 6c 79 20 61 20 73 |is certa|inly a s|
|00005530| 74 72 6f 6e 67 20 61 73 | 73 75 6d 70 74 69 6f 6e |trong as|sumption|
|00005540| 20 66 72 6f 6d 20 77 68 | 69 63 68 20 61 6c 6c 0a | from wh|ich all.|
|00005550| 74 68 65 20 6d 69 63 72 | 6f 73 63 6f 70 69 63 61 |the micr|oscopica|
|00005560| 6c 6c 79 20 63 6f 6e 73 | 74 72 75 63 74 65 64 20 |lly cons|tructed |
|00005570| 72 65 6c 61 74 69 76 69 | 73 74 69 63 20 70 6f 74 |relativi|stic pot|
|00005580| 65 6e 74 69 61 6c 73 20 | 73 75 66 66 65 72 2c 20 |entials |suffer, |
|00005590| 61 6e 64 20 69 6e 64 65 | 65 64 0a 64 69 66 66 65 |and inde|ed.diffe|
|000055a0| 72 65 6e 74 20 70 61 72 | 61 6d 65 74 72 69 7a 61 |rent par|ametriza|
|000055b0| 74 69 6f 6e 73 20 6f 66 | 20 74 68 65 20 24 4e 4e |tions of| the $NN|
|000055c0| 24 20 61 6d 70 6c 69 74 | 75 64 65 20 6f 6e 20 73 |$ amplit|ude on s|
|000055d0| 68 65 6c 6c 20 6c 65 61 | 64 20 74 6f 20 64 69 66 |hell lea|d to dif|
|000055e0| 66 65 72 65 6e 74 0a 72 | 65 6c 61 74 69 76 69 73 |ferent.r|elativis|
|000055f0| 74 69 63 20 70 6f 74 65 | 6e 74 69 61 6c 73 20 5c |tic pote|ntials \|
|00005600| 63 69 74 65 7b 31 31 7d | 2e 20 53 6f 6d 65 20 65 |cite{11}|. Some e|
|00005610| 66 66 6f 72 74 73 20 68 | 61 76 65 20 62 65 65 6e |fforts h|ave been|
|00005620| 20 64 6f 6e 65 20 74 6f | 20 63 6f 6e 73 74 72 61 | done to| constra|
|00005630| 69 6e 0a 74 68 65 20 72 | 65 6c 61 74 69 76 69 73 |in.the r|elativis|
|00005640| 74 69 63 20 70 6f 74 65 | 6e 74 69 61 6c 20 74 6f |tic pote|ntial to|
|00005650| 20 62 65 20 63 6f 6e 73 | 69 73 74 65 6e 74 20 77 | be cons|istent w|
|00005660| 69 74 68 20 74 68 65 20 | 24 5c 62 61 72 7b 4e 7d |ith the |$\bar{N}|
|00005670| 4e 24 20 65 6c 65 6d 65 | 6e 74 61 72 79 0a 61 6d |N$ eleme|ntary.am|
|00005680| 70 6c 69 74 75 64 65 73 | 20 5c 63 69 74 65 7b 31 |plitudes| \cite{1|
|00005690| 32 7d 20 61 6e 64 20 74 | 68 69 73 20 6c 65 61 64 |2} and t|his lead|
|000056a0| 73 20 74 6f 20 70 6f 74 | 65 6e 74 69 61 6c 73 20 |s to pot|entials |
|000056b0| 6c 69 6b 65 20 74 68 65 | 20 6f 6e 65 20 6f 62 74 |like the| one obt|
|000056c0| 61 69 6e 65 64 20 68 65 | 72 65 0a 62 75 74 20 61 |ained he|re.but a|
|000056d0| 62 6f 75 74 20 6f 6e 65 | 20 68 61 6c 66 20 74 68 |bout one| half th|
|000056e0| 65 69 72 20 73 74 72 65 | 6e 67 74 68 2e 20 45 76 |eir stre|ngth. Ev|
|000056f0| 65 6e 20 74 68 65 6e 20 | 74 68 69 73 20 70 6f 74 |en then |this pot|
|00005700| 65 6e 74 69 61 6c 20 69 | 73 20 63 6f 6e 73 74 72 |ential i|s constr|
|00005710| 75 63 74 65 64 20 61 74 | 0a 74 68 65 20 6c 65 76 |ucted at|.the lev|
|00005720| 65 6c 20 6f 66 20 74 68 | 65 20 69 6d 70 75 6c 73 |el of th|e impuls|
|00005730| 65 20 61 70 70 72 6f 78 | 69 6d 61 74 69 6f 6e 20 |e approx|imation |
|00005740| 6f 72 20 6c 6f 77 20 64 | 65 6e 73 69 74 79 20 6c |or low d|ensity l|
|00005750| 69 6d 69 74 2c 20 24 74 | 7b 5c 72 68 6f 7d 24 2c |imit, $t|{\rho}$,|
|00005760| 20 61 6e 64 0a 6d 61 6e | 79 20 62 6f 64 79 20 65 | and.man|y body e|
|00005770| 66 66 65 63 74 73 20 73 | 68 6f 75 6c 64 20 6d 6f |ffects s|hould mo|
|00005780| 64 69 66 79 20 69 74 2e | 20 49 74 20 69 73 20 63 |dify it.| It is c|
|00005790| 6c 65 61 72 20 74 68 61 | 74 20 6d 61 6e 79 20 65 |lear tha|t many e|
|000057a0| 66 66 6f 72 74 73 20 61 | 72 65 20 73 74 69 6c 6c |fforts a|re still|
|000057b0| 0a 6e 65 63 65 73 73 61 | 72 79 20 74 6f 20 62 65 |.necessa|ry to be|
|000057c0| 20 61 62 6c 65 20 74 6f | 20 63 6c 61 69 6d 20 74 | able to| claim t|
|000057d0| 68 61 74 20 61 6e 20 75 | 6e 61 6d 62 69 67 75 6f |hat an u|nambiguo|
|000057e0| 75 73 20 6d 69 63 72 6f | 73 63 6f 70 69 63 61 6c |us micro|scopical|
|000057f0| 20 72 65 6c 61 74 69 76 | 69 73 74 69 63 0a 70 6f | relativ|istic.po|
|00005800| 74 65 6e 74 69 61 6c 20 | 68 61 73 20 62 65 65 6e |tential |has been|
|00005810| 20 64 65 74 65 72 6d 69 | 6e 65 64 2e 20 4f 6e 20 | determi|ned. On |
|00005820| 74 68 65 20 6f 74 68 65 | 72 20 68 61 6e 64 20 6f |the othe|r hand o|
|00005830| 6e 65 20 63 61 6e 20 74 | 61 6b 65 20 61 20 6d 6f |ne can t|ake a mo|
|00005840| 72 65 20 0a 70 68 65 6e | 6f 6d 65 6e 6f 6c 6f 67 |re .phen|omenolog|
|00005850| 69 63 61 6c 20 61 70 70 | 72 6f 61 63 68 20 61 6e |ical app|roach an|
|00005860| 64 20 73 61 79 20 74 68 | 61 74 20 61 20 63 65 72 |d say th|at a cer|
|00005870| 74 61 69 6e 20 72 65 6c | 61 74 69 76 69 73 74 69 |tain rel|ativisti|
|00005880| 63 20 70 6f 74 65 6e 74 | 69 61 6c 20 68 61 73 20 |c potent|ial has |
|00005890| 61 0a 77 69 64 65 20 64 | 65 67 72 65 65 20 6f 66 |a.wide d|egree of|
|000058a0| 20 70 68 65 6e 6f 6d 65 | 6e 6f 6c 6f 67 69 63 61 | phenome|nologica|
|000058b0| 6c 20 73 75 63 63 65 73 | 73 2c 20 70 72 6f 76 69 |l succes|s, provi|
|000058c0| 64 69 6e 67 20 66 61 69 | 72 20 6e 75 63 6c 65 61 |ding fai|r nuclea|
|000058d0| 72 20 62 69 6e 64 69 6e | 67 20 0a 65 6e 65 72 67 |r bindin|g .energ|
|000058e0| 69 65 73 2c 20 73 70 69 | 6e 2d 6f 72 62 69 74 20 |ies, spi|n-orbit |
|000058f0| 73 70 6c 69 74 74 69 6e | 67 2c 20 6e 75 63 6c 65 |splittin|g, nucle|
|00005900| 6f 6e 20 6e 75 63 6c 65 | 75 73 20 63 72 6f 73 73 |on nucle|us cross|
|00005910| 20 73 65 63 74 69 6f 6e | 73 20 61 6e 64 0a 70 6f | section|s and.po|
|00005920| 6c 61 72 69 7a 61 74 69 | 6f 6e 20 6f 62 73 65 72 |larizati|on obser|
|00005930| 76 61 62 6c 65 73 2c 20 | 65 74 63 2e 20 5c 63 69 |vables, |etc. \ci|
|00005940| 74 65 7b 31 30 2c 6b 6c | 65 69 6e 7d 2e 20 0a 20 |te{10,kl|ein}. . |
|00005950| 20 54 68 65 20 70 6f 74 | 65 6e 74 69 61 6c 20 77 | The pot|ential w|
|00005960| 65 20 68 61 76 65 20 75 | 73 65 64 20 69 73 20 6f |e have u|sed is o|
|00005970| 6e 65 20 6f 66 20 73 75 | 63 68 20 61 6e 64 20 70 |ne of su|ch and p|
|00005980| 72 6f 76 69 64 65 73 0a | 65 6d 70 69 72 69 63 61 |rovides.|empirica|
|00005990| 6c 20 73 75 70 70 6f 72 | 74 20 66 6f 72 20 74 68 |l suppor|t for th|
|000059a0| 65 20 61 78 69 61 6c 20 | 63 68 61 72 67 65 20 72 |e axial |charge r|
|000059b0| 65 6e 6f 72 6d 61 6c 69 | 7a 61 74 69 6f 6e 20 66 |enormali|zation f|
|000059c0| 6f 75 6e 64 2c 0a 62 75 | 74 20 74 68 69 73 20 64 |ound,.bu|t this d|
|000059d0| 6f 65 73 20 6e 6f 74 0a | 65 78 63 6c 75 64 65 20 |oes not.|exclude |
|000059e0| 74 68 65 20 70 6f 73 73 | 69 62 69 6c 69 74 79 20 |the poss|ibility |
|000059f0| 6f 66 20 6f 74 68 65 72 | 20 70 6f 74 65 6e 74 69 |of other| potenti|
|00005a00| 61 6c 73 20 77 69 74 68 | 20 74 68 65 20 73 61 6d |als with| the sam|
|00005a10| 65 20 64 65 67 72 65 65 | 20 6f 66 20 0a 70 68 65 |e degree| of .phe|
|00005a20| 6e 6f 6d 65 6e 6f 6c 6f | 67 69 63 61 6c 20 73 75 |nomenolo|gical su|
|00005a30| 63 63 65 73 73 20 61 6e | 64 20 73 74 69 6c 6c 20 |ccess an|d still |
|00005a40| 70 72 6f 76 69 64 69 6e | 67 20 64 69 66 66 65 72 |providin|g differ|
|00005a50| 65 6e 74 20 61 78 69 61 | 6c 20 63 68 61 72 67 65 |ent axia|l charge|
|00005a60| 20 0a 72 65 6e 6f 72 6d | 61 6c 69 7a 61 74 69 6f | .renorm|alizatio|
|00005a70| 6e 2e 20 54 68 65 20 75 | 6c 74 69 6d 61 74 65 20 |n. The u|ltimate |
|00005a80| 61 6e 73 77 65 72 20 74 | 6f 20 74 68 69 73 20 71 |answer t|o this q|
|00005a90| 75 65 73 74 69 6f 6e 20 | 69 73 20 74 69 65 64 20 |uestion |is tied |
|00005aa0| 74 6f 20 74 68 65 20 70 | 72 6f 67 72 65 73 73 0a |to the p|rogress.|
|00005ab0| 69 6e 20 6f 75 72 20 75 | 6e 64 65 72 73 74 61 6e |in our u|nderstan|
|00005ac0| 64 69 6e 67 20 6f 66 20 | 74 68 65 20 6d 65 61 6e |ding of |the mean|
|00005ad0| 69 6e 67 20 61 6e 64 20 | 61 63 63 75 72 61 74 65 |ing and |accurate|
|00005ae0| 20 73 74 72 65 6e 67 74 | 68 20 6f 66 20 74 68 65 | strengt|h of the|
|00005af0| 20 72 65 6c 61 74 69 76 | 69 73 74 69 63 0a 70 6f | relativ|istic.po|
|00005b00| 74 65 6e 74 69 61 6c 2e | 20 4d 65 61 6e 77 68 69 |tential.| Meanwhi|
|00005b10| 6c 65 2c 20 62 79 20 75 | 73 69 6e 67 20 61 20 66 |le, by u|sing a f|
|00005b20| 61 69 72 20 61 6e 64 20 | 70 6c 61 75 73 69 62 6c |air and |plausibl|
|00005b30| 65 20 6d 6f 64 65 6c 20 | 77 65 20 68 61 76 65 20 |e model |we have |
|00005b40| 64 6f 6e 65 20 0a 64 65 | 74 61 69 6c 65 64 20 63 |done .de|tailed c|
|00005b50| 61 6c 63 75 6c 61 74 69 | 6f 6e 73 20 61 6e 64 20 |alculati|ons and |
|00005b60| 73 68 6f 77 65 64 20 74 | 68 61 74 20 74 68 65 20 |showed t|hat the |
|00005b70| 72 65 73 75 6c 74 73 20 | 61 72 65 20 73 75 66 66 |results |are suff|
|00005b80| 69 63 69 65 6e 74 6c 79 | 20 64 69 66 66 65 72 65 |iciently| differe|
|00005b90| 6e 74 0a 66 72 6f 6d 20 | 74 68 65 20 70 65 72 74 |nt.from |the pert|
|00005ba0| 75 72 62 61 74 69 76 65 | 20 72 65 73 75 6c 74 73 |urbative| results|
|00005bb0| 20 74 6f 20 65 6e 63 6f | 75 72 61 67 65 20 74 68 | to enco|urage th|
|00005bc0| 65 20 75 73 65 20 6f 66 | 20 74 68 65 20 70 72 65 |e use of| the pre|
|00005bd0| 73 65 6e 74 20 61 70 70 | 72 6f 61 63 68 20 69 6e |sent app|roach in|
|00005be0| 0a 66 75 74 75 72 65 20 | 77 6f 72 6b 73 20 64 65 |.future |works de|
|00005bf0| 61 6c 69 6e 67 20 77 69 | 74 68 20 74 68 65 20 70 |aling wi|th the p|
|00005c00| 72 6f 62 6c 65 6d 2e 0a | 0a 5c 62 69 67 73 6b 69 |roblem..|.\bigski|
|00005c10| 70 5c 62 69 67 73 6b 69 | 70 0a 5c 6e 6f 69 6e 64 |p\bigski|p.\noind|
|00005c20| 65 6e 74 0a 54 77 6f 20 | 6f 66 20 75 73 2c 20 41 |ent.Two |of us, A|
|00005c30| 2e 20 47 69 6c 20 61 6e | 64 20 45 2e 20 4f 73 65 |. Gil an|d E. Ose|
|00005c40| 74 20 77 69 73 68 20 74 | 6f 20 61 63 6b 6e 6f 77 |t wish t|o acknow|
|00005c50| 6c 65 64 67 65 20 74 68 | 65 20 68 6f 73 70 69 74 |ledge th|e hospit|
|00005c60| 61 6c 69 74 79 20 6f 66 | 20 74 68 65 20 0a 55 6e |ality of| the .Un|
|00005c70| 69 76 65 72 73 69 74 79 | 20 6f 66 20 54 5c 22 75 |iversity| of T\"u|
|00005c80| 62 69 6e 67 65 6e 20 61 | 6e 64 20 48 2e 20 4d 5c |bingen a|nd H. M\|
|00005c90| 22 75 74 68 65 72 20 74 | 68 65 20 6f 6e 65 20 6f |"uther t|he one o|
|00005ca0| 66 20 74 68 65 20 55 6e | 69 76 65 72 73 69 74 79 |f the Un|iversity|
|00005cb0| 20 6f 66 20 56 61 6c 65 | 6e 63 69 61 2e 0a 45 2e | of Vale|ncia..E.|
|00005cc0| 20 4f 73 65 74 20 61 63 | 6b 6e 6f 77 6c 65 64 67 | Oset ac|knowledg|
|00005cd0| 65 73 20 73 75 70 70 6f | 72 74 20 66 72 6f 6d 20 |es suppo|rt from |
|00005ce0| 74 68 65 20 48 75 6d 62 | 6f 6c 64 74 20 46 6f 75 |the Humb|oldt Fou|
|00005cf0| 6e 64 61 74 69 6f 6e 2e | 20 54 68 65 20 77 6f 72 |ndation.| The wor|
|00005d00| 6b 20 68 61 73 20 62 65 | 65 6e 0a 70 61 72 74 69 |k has be|en.parti|
|00005d10| 61 6c 6c 79 20 73 75 70 | 70 6f 72 74 65 64 20 62 |ally sup|ported b|
|00005d20| 79 20 74 68 65 20 45 55 | 2c 20 70 72 6f 67 72 61 |y the EU|, progra|
|00005d30| 6d 2c 20 48 75 6d 61 6e | 20 43 61 70 69 74 61 6c |m, Human| Capital|
|00005d40| 20 61 6e 64 20 4d 6f 62 | 69 6c 69 74 79 20 63 6f | and Mob|ility co|
|00005d50| 6e 74 72 61 63 74 0a 6e | 6f 2e 20 43 48 52 58 2d |ntract.n|o. CHRX-|
|00005d60| 43 54 20 39 33 2d 30 33 | 32 33 2c 20 20 74 68 65 |CT 93-03|23, the|
|00005d70| 20 43 49 43 59 54 20 63 | 6f 6e 74 72 61 63 74 20 | CICYT c|ontract |
|00005d80| 6e 6f 2e 20 41 45 4e 20 | 39 33 2d 31 32 30 35 20 |no. AEN |93-1205 |
|00005d90| 0a 61 6e 64 20 74 68 65 | 20 47 72 61 64 75 69 65 |.and the| Graduie|
|00005da0| 72 74 65 6e 6b 6f 6c 6c | 65 67 20 60 60 53 74 72 |rtenkoll|eg ``Str|
|00005db0| 75 6b 74 75 72 20 75 6e | 64 20 57 65 63 68 73 65 |uktur un|d Wechse|
|00005dc0| 6c 77 69 72 6b 75 6e 67 | 20 76 6f 6e 20 48 61 64 |lwirkung| von Had|
|00005dd0| 72 6f 6e 65 6e 0a 75 6e | 64 20 4b 65 72 6e 65 6e |ronen.un|d Kernen|
|00005de0| 27 27 20 6f 66 20 74 68 | 65 20 44 65 75 74 73 63 |'' of th|e Deutsc|
|00005df0| 68 65 20 46 6f 72 73 63 | 68 75 6e 67 73 67 65 6d |he Forsc|hungsgem|
|00005e00| 65 69 6e 73 63 68 61 66 | 74 20 28 44 46 47 20 4d |einschaf|t (DFG M|
|00005e10| 75 20 37 30 35 2f 33 29 | 0a 5c 6e 65 77 70 61 67 |u 705/3)|.\newpag|
|00005e20| 65 0a 0a 7b 5c 62 66 20 | 41 70 70 65 6e 64 69 78 |e..{\bf |Appendix|
|00005e30| 3a 20 4d 61 74 72 69 78 | 20 65 6c 65 6d 65 6e 74 |: Matrix| element|
|00005e40| 73 20 6f 66 20 74 68 65 | 20 61 78 69 61 6c 20 63 |s of the| axial c|
|00005e50| 68 61 72 67 65 20 6f 70 | 65 72 61 74 6f 72 2e 7d |harge op|erator.}|
|00005e60| 0a 0a 5c 62 69 67 73 6b | 69 70 5c 6e 6f 69 6e 64 |..\bigsk|ip\noind|
|00005e70| 65 6e 74 0a 7b 5c 62 66 | 20 41 29 20 52 65 6c 61 |ent.{\bf| A) Rela|
|00005e80| 74 69 76 69 73 74 69 63 | 20 63 61 73 65 3a 7d 0a |tivistic| case:}.|
|00005e90| 57 65 20 77 72 69 74 65 | 20 68 65 72 65 20 74 68 |We write| here th|
|00005ea0| 65 20 6d 61 74 72 69 78 | 20 65 6c 65 6d 65 6e 74 |e matrix| element|
|00005eb0| 20 66 6f 72 20 74 68 65 | 20 24 5c 67 61 6d 6d 61 | for the| $\gamma|
|00005ec0| 5e 7b 30 7d 0a 5c 67 61 | 6d 6d 61 5f 7b 73 7d 24 |^{0}.\ga|mma_{s}$|
|00005ed0| 20 6f 70 65 72 61 74 6f | 72 20 62 65 74 77 65 65 | operato|r betwee|
|00005ee0| 6e 20 72 65 6c 61 74 69 | 76 69 73 74 69 63 20 77 |n relati|vistic w|
|00005ef0| 61 76 65 20 66 75 6e 63 | 74 69 6f 6e 73 0a 0a 24 |ave func|tions..$|
|00005f00| 24 0a 3c 20 6e 27 20 6c | 27 20 6a 27 20 6d 27 20 |$.< n' l|' j' m' |
|00005f10| 7c 20 5c 67 61 6d 6d 61 | 5e 7b 30 7d 20 5c 67 61 || \gamma|^{0} \ga|
|00005f20| 6d 6d 61 5f 7b 35 7d 20 | 65 5e 7b 69 20 5c 76 65 |mma_{5} |e^{i \ve|
|00005f30| 63 7b 71 7d 20 5c 76 65 | 63 7b 72 7d 7d 20 7c 20 |c{q} \ve|c{r}} | |
|00005f40| 6e 20 6c 20 6a 20 6d 20 | 3e 0a 5c 65 71 6e 6f 7b |n l j m |>.\eqno{|
|00005f50| 28 61 2e 31 29 7d 0a 24 | 24 0a 0a 57 65 20 64 69 |(a.1)}.$|$..We di|
|00005f60| 73 74 69 6e 67 75 69 73 | 68 20 34 20 63 61 73 65 |stinguis|h 4 case|
|00005f70| 73 0a 0a 24 24 0a 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 61 72 72 |s..$$.\b|egin{arr|
|00005f80| 61 79 7d 7b 6c 6c 7d 0a | 61 29 20 6a 27 20 3d 20 |ay}{ll}.|a) j' = |
|00005f90| 6c 27 20 2b 20 31 2f 32 | 2c 20 26 20 6a 20 3d 20 |l' + 1/2|, & j = |
|00005fa0| 6c 20 2b 20 31 2f 32 5c | 5c 0a 62 29 20 6a 27 20 |l + 1/2\|\.b) j' |
|00005fb0| 3d 20 6c 27 20 2b 20 31 | 2f 32 2c 20 26 20 6a 20 |= l' + 1|/2, & j |
|00005fc0| 3d 20 6c 20 2d 20 31 2f | 32 5c 5c 0a 63 29 20 6a |= l - 1/|2\\.c) j|
|00005fd0| 27 20 3d 20 6c 20 2d 20 | 31 2f 32 2c 20 26 20 6a |' = l - |1/2, & j|
|00005fe0| 20 3d 20 6c 20 2b 20 31 | 2f 32 5c 5c 0a 64 29 20 | = l + 1|/2\\.d) |
|00005ff0| 6a 27 20 3d 20 6c 20 2d | 20 31 2f 32 2c 20 26 20 |j' = l -| 1/2, & |
|00006000| 6a 20 3d 20 6c 20 2d 20 | 31 2f 32 0a 5c 65 6e 64 |j = l - |1/2.\end|
|00006010| 7b 61 72 72 61 79 7d 0a | 24 24 0a 0a 61 6e 64 20 |{array}.|$$..and |
|00006020| 74 68 65 20 72 65 73 75 | 6c 74 69 6e 67 20 6d 61 |the resu|lting ma|
|00006030| 74 72 69 78 20 65 6c 65 | 6d 65 6e 74 20 69 73 20 |trix ele|ment is |
|00006040| 0a 0a 24 24 0a 5c 73 71 | 72 74 7b 34 20 5c 70 69 |..$$.\sq|rt{4 \pi|
|00006050| 7d 20 5c 73 75 6d 5f 7b | 5c 6c 61 6d 62 64 61 7d |} \sum_{|\lambda}|
|00006060| 20 69 5e 7b 5c 6c 61 6d | 62 64 61 7d 20 28 2d 69 | i^{\lam|bda} (-i|
|00006070| 29 20 5c 69 6e 74 20 72 | 5e 7b 32 7d 20 64 72 20 |) \int r|^{2} dr |
|00006080| 5c 6c 65 66 74 5b 0a 5c | 66 72 61 63 7b 47 5f 7b |\left[.\|frac{G_{|
|00006090| 6c 27 6a 27 7d 28 72 29 | 7d 7b 72 7d 20 5c 66 72 |l'j'}(r)|}{r} \fr|
|000060a0| 61 63 7b 46 5f 7b 6c 6a | 7d 20 28 72 29 7d 7b 72 |ac{F_{lj|} (r)}{r|
|000060b0| 7d 20 2d 20 5c 66 72 61 | 63 7b 46 5f 7b 6c 27 6a |} - \fra|c{F_{l'j|
|000060c0| 27 7d 28 72 29 7d 7b 72 | 7d 20 0a 5c 66 72 61 63 |'}(r)}{r|} .\frac|
|000060d0| 7b 47 5f 7b 6c 6a 7d 20 | 28 72 29 7d 7b 72 7d 0a |{G_{lj} |(r)}{r}.|
|000060e0| 5c 72 69 67 68 74 5d 20 | 6a 5f 7b 5c 6c 61 6d 62 |\right] |j_{\lamb|
|000060f0| 64 61 7d 20 28 71 72 29 | 0a 24 24 0a 0a 24 24 0a |da} (qr)|.$$..$$.|
|00006100| 20 28 32 20 5c 6c 61 6d | 62 64 61 20 2b 20 31 29 | (2 \lam|bda + 1)|
|00006110| 5e 7b 31 2f 32 7d 20 59 | 5f 7b 5c 6c 61 6d 62 64 |^{1/2} Y|_{\lambd|
|00006120| 61 20 2c 20 6d 27 2d 6d | 7d 5e 7b 2a 7d 20 28 5c |a , m'-m|}^{*} (\|
|00006130| 68 61 74 7b 71 7d 29 20 | 41 5f 7b 69 7d 0a 5c 65 |hat{q}) |A_{i}.\e|
|00006140| 71 6e 6f 7b 28 61 2e 32 | 29 7d 0a 24 24 0a 0a 5c |qno{(a.2|)}.$$..\|
|00006150| 6e 6f 69 6e 64 65 6e 74 | 0a 77 68 65 72 65 20 24 |noindent|.where $|
|00006160| 41 5f 7b 69 7d 24 20 69 | 73 20 67 69 76 65 6e 20 |A_{i}$ i|s given |
|00006170| 66 6f 72 20 65 61 63 68 | 20 6f 66 20 74 68 65 20 |for each| of the |
|00006180| 63 61 73 65 73 20 61 29 | 20 62 29 20 63 29 20 64 |cases a)| b) c) d|
|00006190| 29 20 6c 69 73 74 65 64 | 20 61 62 6f 76 65 20 62 |) listed| above b|
|000061a0| 79 0a 0a 24 24 0a 41 5f | 7b 61 7d 3d 20 5c 66 72 |y..$$.A_|{a}= \fr|
|000061b0| 61 63 7b 31 7d 7b 32 6a | 27 7d 20 43 28 6a 20 2b |ac{1}{2j|'} C(j +|
|000061c0| 20 31 2f 32 2c 20 5c 6c | 61 6d 62 64 61 20 2c 20 | 1/2, \l|ambda , |
|000061d0| 6a 27 20 2d 20 31 2f 32 | 20 3b 20 30 30 30 29 0a |j' - 1/2| ; 000).|
|000061e0| 24 24 0a 0a 24 24 0a 5c | 7b 28 6a 27 20 2b 20 6d |$$..$$.\|{(j' + m|
|000061f0| 27 29 5e 7b 31 2f 32 7d | 20 28 6a 20 2b 20 31 20 |')^{1/2}| (j + 1 |
|00006200| 2d 20 6d 29 5e 7b 31 2f | 32 7d 20 43 20 28 6a 20 |- m)^{1/|2} C (j |
|00006210| 2b 20 31 2f 32 2c 20 5c | 6c 61 6d 62 64 61 20 2c |+ 1/2, \|lambda ,|
|00006220| 20 6a 27 20 2d 20 31 2f | 32 3b 20 6d 20 2d 20 0a | j' - 1/|2; m - .|
|00006230| 31 2f 32 2c 20 6d 27 2d | 6d 29 20 0a 24 24 0a 0a |1/2, m'-|m) .$$..|
|00006240| 24 24 0a 2d 28 6a 27 20 | 2d 20 6d 27 29 5e 7b 31 |$$.-(j' |- m')^{1|
|00006250| 2f 32 7d 20 28 6a 20 2b | 20 31 20 2b 20 6d 29 5e |/2} (j +| 1 + m)^|
|00006260| 7b 31 2f 32 7d 20 43 20 | 28 6a 20 2b 20 31 2f 32 |{1/2} C |(j + 1/2|
|00006270| 2c 20 5c 6c 61 6d 62 64 | 61 20 2c 20 6a 27 20 2d |, \lambd|a , j' -|
|00006280| 20 31 2f 32 3b 20 6d 2b | 20 31 2f 32 2c 0a 6d 27 | 1/2; m+| 1/2,.m'|
|00006290| 20 2d 20 6d 29 20 5c 7d | 0a 5c 65 71 6e 6f 7b 28 | - m) \}|.\eqno{(|
|000062a0| 61 2e 33 29 7d 0a 24 24 | 0a 0a 24 24 0a 41 5f 7b |a.3)}.$$|..$$.A_{|
|000062b0| 62 7d 20 3d 20 5c 66 72 | 61 63 7b 31 7d 7b 32 6a |b} = \fr|ac{1}{2j|
|000062c0| 27 7d 20 43 20 28 6a 2d | 31 2f 32 2c 20 5c 6c 61 |'} C (j-|1/2, \la|
|000062d0| 6d 62 64 61 20 2c 20 6a | 27 20 2d 20 31 2f 32 3b |mbda , j|' - 1/2;|
|000062e0| 20 30 30 30 29 0a 24 24 | 0a 0a 24 24 0a 5c 7b 20 | 000).$$|..$$.\{ |
|000062f0| 28 6a 27 20 2b 20 6d 27 | 29 5e 7b 31 2f 32 7d 20 |(j' + m'|)^{1/2} |
|00006300| 28 6a 20 2b 20 6d 29 5e | 7b 31 2f 32 7d 20 43 20 |(j + m)^|{1/2} C |
|00006310| 28 6a 20 2d 20 31 2f 32 | 2c 20 5c 6c 61 6d 62 64 |(j - 1/2|, \lambd|
|00006320| 61 20 2c 20 6a 27 2d 20 | 31 2f 32 3b 20 6d 2d 31 |a , j'- |1/2; m-1|
|00006330| 2f 32 2c 20 6d 27 2d 6d | 29 0a 24 24 0a 0a 24 24 |/2, m'-m|).$$..$$|
|00006340| 0a 2b 20 28 6a 27 20 2d | 20 6d 27 29 5e 7b 31 2f |.+ (j' -| m')^{1/|
|00006350| 32 7d 20 28 6a 20 2d 20 | 6d 29 5e 7b 31 2f 32 7d |2} (j - |m)^{1/2}|
|00006360| 20 43 20 28 6a 20 2d 20 | 31 2f 32 2c 20 5c 6c 61 | C (j - |1/2, \la|
|00006370| 6d 62 64 61 20 2c 20 6a | 27 20 2d 20 31 2f 32 3b |mbda , j|' - 1/2;|
|00006380| 20 6d 20 2b 20 31 2f 32 | 2c 20 6d 27 2d 6d 29 0a | m + 1/2|, m'-m).|
|00006390| 5c 65 71 6e 6f 7b 28 61 | 2e 34 29 7d 0a 24 24 0a |\eqno{(a|.4)}.$$.|
|000063a0| 0a 24 24 0a 41 5f 7b 63 | 7d 3d 20 5c 66 72 61 63 |.$$.A_{c|}= \frac|
|000063b0| 7b 31 7d 7b 32 6a 27 2b | 32 7d 20 43 20 28 6a 20 |{1}{2j'+|2} C (j |
|000063c0| 2b 20 31 2f 32 2c 20 5c | 6c 61 6d 62 64 61 20 2c |+ 1/2, \|lambda ,|
|000063d0| 20 6a 27 20 2b 20 31 2f | 32 3b 20 30 30 30 29 0a | j' + 1/|2; 000).|
|000063e0| 24 24 0a 0a 24 24 0a 5c | 7b 20 28 6a 27 20 2b 20 |$$..$$.\|{ (j' + |
|000063f0| 31 20 2d 20 6d 27 29 5e | 7b 31 2f 32 7d 20 28 6a |1 - m')^|{1/2} (j|
|00006400| 20 2b 20 31 20 2d 20 6d | 29 5e 7b 31 2f 32 7d 20 | + 1 - m|)^{1/2} |
|00006410| 43 20 28 6a 20 2b 20 31 | 2f 32 2c 20 5c 6c 61 6d |C (j + 1|/2, \lam|
|00006420| 62 64 61 20 2c 20 6a 27 | 20 2b 20 31 2f 32 3b 0a |bda , j'| + 1/2;.|
|00006430| 6d 20 2d 20 31 2f 32 2c | 20 6d 27 20 2d 20 6d 29 |m - 1/2,| m' - m)|
|00006440| 0a 24 24 0a 0a 24 24 0a | 2b 20 28 6a 27 20 2b 20 |.$$..$$.|+ (j' + |
|00006450| 31 20 2b 20 6d 27 29 5e | 7b 31 2f 32 7d 20 28 6a |1 + m')^|{1/2} (j|
|00006460| 20 2b 20 31 20 2b 20 6d | 29 5e 7b 31 2f 32 7d 20 | + 1 + m|)^{1/2} |
|00006470| 43 20 28 6a 20 2b 20 31 | 2f 32 2c 20 5c 6c 61 6d |C (j + 1|/2, \lam|
|00006480| 62 64 61 20 2c 20 6a 27 | 20 2b 20 31 2f 32 3b 0a |bda , j'| + 1/2;.|
|00006490| 6d 20 2b 20 31 2f 32 2c | 20 6d 27 20 2d 20 6d 29 |m + 1/2,| m' - m)|
|000064a0| 5c 7d 0a 5c 65 71 6e 6f | 7b 28 61 2e 35 29 7d 0a |\}.\eqno|{(a.5)}.|
|000064b0| 24 24 0a 0a 24 24 0a 41 | 5f 7b 64 7d 20 3d 20 5c |$$..$$.A|_{d} = \|
|000064c0| 66 72 61 63 7b 31 7d 7b | 32 6a 27 20 2b 20 32 7d |frac{1}{|2j' + 2}|
|000064d0| 20 43 20 28 6a 20 2d 20 | 31 2f 32 2c 20 5c 6c 61 | C (j - |1/2, \la|
|000064e0| 6d 62 64 61 20 2c 20 6a | 27 20 2b 20 31 2f 32 3b |mbda , j|' + 1/2;|
|000064f0| 20 30 30 30 29 0a 24 24 | 0a 0a 24 24 0a 5c 7b 20 | 000).$$|..$$.\{ |
|00006500| 28 6a 27 20 2b 20 31 20 | 2d 20 6d 27 29 5e 7b 31 |(j' + 1 |- m')^{1|
|00006510| 2f 32 7d 20 28 6a 20 2b | 20 6d 29 5e 7b 31 2f 32 |/2} (j +| m)^{1/2|
|00006520| 7d 20 43 28 6a 20 2d 20 | 31 2f 32 2c 20 5c 6c 61 |} C(j - |1/2, \la|
|00006530| 6d 62 64 61 20 2c 20 6a | 27 20 2b 20 31 2f 32 3b |mbda , j|' + 1/2;|
|00006540| 20 6d 2d 31 2f 32 2c 0a | 6d 27 2d 6d 29 0a 24 24 | m-1/2,.|m'-m).$$|
|00006550| 0a 0a 24 24 0a 2d 28 6a | 27 20 2b 20 31 20 2b 20 |..$$.-(j|' + 1 + |
|00006560| 6d 27 29 5e 7b 31 2f 32 | 7d 20 28 6a 20 2d 20 6d |m')^{1/2|} (j - m|
|00006570| 29 5e 7b 31 2f 32 7d 20 | 43 20 28 6a 20 2d 20 31 |)^{1/2} |C (j - 1|
|00006580| 2f 32 2c 20 5c 6c 61 6d | 62 64 61 20 2c 20 6a 27 |/2, \lam|bda , j'|
|00006590| 20 2b 20 31 2f 32 3b 20 | 6d 20 2b 20 31 2f 32 2c | + 1/2; |m + 1/2,|
|000065a0| 0a 6d 27 2d 6d 29 20 5c | 7d 0a 5c 65 71 6e 6f 7b |.m'-m) \|}.\eqno{|
|000065b0| 28 61 2e 36 29 7d 0a 24 | 24 0a 5c 62 69 67 73 6b |(a.6)}.$|$.\bigsk|
|000065c0| 69 70 5c 6e 6f 69 6e 64 | 65 6e 74 0a 7b 5c 62 66 |ip\noind|ent.{\bf|
|000065d0| 20 42 29 20 4e 6f 6e 20 | 72 65 6c 61 74 69 76 69 | B) Non |relativi|
|000065e0| 73 74 69 63 20 63 61 73 | 65 3a 7d 0a 77 65 20 65 |stic cas|e:}.we e|
|000065f0| 76 61 6c 75 61 74 65 20 | 6d 61 74 72 69 78 20 65 |valuate |matrix e|
|00006600| 6c 65 6d 65 6e 74 73 20 | 6f 66 20 74 68 65 20 24 |lements |of the $|
|00006610| 5c 76 65 63 7b 5c 73 69 | 67 6d 61 7d 0a 28 5c 76 |\vec{\si|gma}.(\v|
|00006620| 65 63 7b 70 7d 20 2b 20 | 5c 62 61 72 7b 70 7d 27 |ec{p} + |\bar{p}'|
|00006630| 29 2f 32 4d 24 20 6f 70 | 65 72 61 74 6f 72 20 62 |)/2M$ op|erator b|
|00006640| 65 74 77 65 65 6e 20 6e | 6f 6e 20 72 65 6c 61 74 |etween n|on relat|
|00006650| 69 76 69 73 74 69 63 20 | 73 74 61 74 65 73 0a 0a |ivistic |states..|
|00006660| 24 24 0a 3c 20 6e 27 20 | 6c 27 20 6a 27 20 6d 27 |$$.< n' |l' j' m'|
|00006670| 20 7c 20 5c 76 65 63 7b | 5c 73 69 67 6d 61 7d 20 | | \vec{|\sigma} |
|00006680| 28 5c 76 65 63 7b 70 7d | 20 2b 20 5c 76 65 63 7b |(\vec{p}| + \vec{|
|00006690| 70 7d 5c 3a 27 29 20 2f | 32 4d 20 7c 20 6e 20 6c |p}\:') /|2M | n l|
|000066a0| 20 6a 20 6d 20 3e 0a 5c | 65 71 6e 6f 7b 28 61 2e | j m >.\|eqno{(a.|
|000066b0| 37 29 7d 0a 24 24 0a 0a | 5c 6e 6f 69 6e 64 65 6e |7)}.$$..|\noinden|
|000066c0| 74 0a 54 68 65 20 64 65 | 72 69 76 61 74 69 6f 6e |t.The de|rivation|
|000066d0| 20 6f 66 20 74 68 69 73 | 20 6d 61 74 72 69 78 20 | of this| matrix |
|000066e0| 65 6c 65 6d 65 6e 74 73 | 20 72 65 71 75 69 72 65 |elements| require|
|000066f0| 73 20 61 20 62 69 74 20 | 6d 6f 72 65 20 61 6c 67 |s a bit |more alg|
|00006700| 65 62 72 61 20 74 68 61 | 6e 20 74 68 65 0a 6e 6f |ebra tha|n the.no|
|00006710| 6e 20 72 65 6c 61 74 69 | 76 69 73 74 69 63 20 63 |n relati|vistic c|
|00006720| 61 73 65 2e 20 57 69 74 | 68 20 74 68 65 20 68 65 |ase. Wit|h the he|
|00006730| 6c 70 20 6f 66 20 73 6f | 6d 65 20 75 73 65 66 75 |lp of so|me usefu|
|00006740| 6c 20 66 6f 72 6d 75 6c | 61 73 20 66 72 6f 6d 20 |l formul|as from |
|00006750| 74 68 65 20 0a 61 70 70 | 65 6e 64 69 78 20 6f 66 |the .app|endix of|
|00006760| 20 72 65 66 2e 20 5c 63 | 69 74 65 7b 31 33 7d 20 | ref. \c|ite{13} |
|00006770| 77 65 20 6f 62 74 61 69 | 6e 20 74 68 65 20 66 6f |we obtai|n the fo|
|00006780| 6c 6c 6f 77 69 6e 67 20 | 72 65 73 75 6c 74 0a 0a |llowing |result..|
|00006790| 24 24 0a 3c 20 6e 27 6a | 27 6c 27 6d 27 7c 20 5c |$$.< n'j|'l'm'| \|
|000067a0| 76 65 63 7b 5c 73 69 67 | 6d 61 7d 20 5c 66 72 61 |vec{\sig|ma} \fra|
|000067b0| 63 7b 28 5c 76 65 63 7b | 70 7d 20 2b 20 5c 76 65 |c{(\vec{|p} + \ve|
|000067c0| 63 7b 70 7d 5c 3a 27 29 | 7d 7b 32 4d 7d 20 65 5e |c{p}\:')|}{2M} e^|
|000067d0| 7b 69 5c 76 65 63 7b 71 | 7d 5c 3a 20 0a 5c 76 65 |{i\vec{q|}\: .\ve|
|000067e0| 63 7b 72 7d 7d 0a 7c 20 | 6e 20 6c 20 6a 20 6d 3e |c{r}}.| |n l j m>|
|000067f0| 20 3d 0a 24 24 0a 0a 24 | 24 0a 69 28 2d 31 29 5e | =.$$..$|$.i(-1)^|
|00006800| 7b 6a 27 20 2b 20 6c 27 | 20 2b 20 31 2f 32 7d 20 |{j' + l'| + 1/2} |
|00006810| 5c 73 71 72 74 7b 34 20 | 5c 70 69 7d 20 20 5c 66 |\sqrt{4 |\pi} \f|
|00006820| 72 61 63 7b 31 7d 7b 32 | 4d 7d 20 5c 73 75 6d 5f |rac{1}{2|M} \sum_|
|00006830| 7b 5c 6c 61 6d 62 64 61 | 7d 20 43 28 6a 20 5c 6c |{\lambda|} C(j \l|
|00006840| 61 6d 62 64 61 0a 6a 27 | 20 3b 20 31 2f 32 2c 30 |ambda.j'| ; 1/2,0|
|00006850| 2c 20 31 2f 32 29 0a 24 | 24 0a 0a 24 24 0a 43 20 |, 1/2).$|$..$$.C |
|00006860| 28 6a 20 5c 6c 61 6d 62 | 64 61 20 6a 27 20 3b 20 |(j \lamb|da j' ; |
|00006870| 6d 2c 20 6d 27 2d 6d 29 | 20 69 5e 7b 5c 6c 61 6d |m, m'-m)| i^{\lam|
|00006880| 62 64 61 7d 20 59 5f 7b | 5c 6c 61 6d 62 64 61 20 |bda} Y_{|\lambda |
|00006890| 2c 20 6d 27 2d 6d 7d 5e | 7b 2a 7d 20 28 5c 68 61 |, m'-m}^|{*} (\ha|
|000068a0| 74 7b 71 7d 29 20 0a 5c | 42 69 67 6c 5b 5c 66 72 |t{q}) .\|Bigl[\fr|
|000068b0| 61 63 7b 32 20 28 32 0a | 5c 6c 61 6d 62 64 61 20 |ac{2 (2.|\lambda |
|000068c0| 2b 20 31 29 7d 7b 32 6a | 27 20 2b 20 31 7d 5c 42 |+ 1)}{2j|' + 1}\B|
|000068d0| 69 67 72 5d 5e 7b 31 2f | 32 7d 0a 24 24 0a 0a 24 |igr]^{1/|2}.$$..$|
|000068e0| 24 0a 46 28 6e 27 6c 27 | 6a 27 2c 20 6e 20 6c 20 |$.F(n'l'|j', n l |
|000068f0| 6a 20 3b 20 5c 6c 61 6d | 62 64 61 29 0a 5c 65 71 |j ; \lam|bda).\eq|
|00006900| 6e 6f 7b 28 61 2e 38 29 | 7d 0a 24 24 0a 0a 5c 6e |no{(a.8)|}.$$..\n|
|00006910| 6f 69 6e 64 65 6e 74 0a | 77 69 74 68 20 24 5c 6c |oindent.|with $\l|
|00006920| 61 6d 62 64 61 20 2b 20 | 6c 20 2b 20 6c 27 24 20 |ambda + |l + l'$ |
|00006930| 61 6e 20 6f 64 64 20 6e | 75 6d 62 65 72 2c 20 77 |an odd n|umber, w|
|00006940| 68 65 72 65 20 74 68 65 | 20 6c 61 73 74 20 66 75 |here the| last fu|
|00006950| 6e 63 74 69 6f 6e 20 69 | 73 20 67 69 76 65 6e 20 |nction i|s given |
|00006960| 62 79 0a 0a 24 24 0a 46 | 20 28 6e 27 20 6c 27 20 |by..$$.F| (n' l' |
|00006970| 6a 27 2c 20 6e 20 6c 20 | 6a 20 3b 20 5c 6c 61 6d |j', n l |j ; \lam|
|00006980| 62 64 61 20 29 20 3d 0a | 24 24 0a 0a 24 24 0a 20 |bda ) =.|$$..$$. |
|00006990| 5c 64 65 6c 74 61 5f 7b | 6a 2c 20 6c 20 2b 20 31 |\delta_{|j, l + 1|
|000069a0| 2f 32 7d 20 28 6c 20 2b | 20 31 29 5e 7b 31 2f 32 |/2} (l +| 1)^{1/2|
|000069b0| 7d 20 5c 69 6e 74 5f 7b | 30 7d 5e 7b 5c 69 6e 66 |} \int_{|0}^{\inf|
|000069c0| 74 79 7d 20 72 5e 7b 32 | 7d 20 64 72 20 5c 70 68 |ty} r^{2|} dr \ph|
|000069d0| 69 5f 7b 6c 27 7d 20 28 | 72 29 0a 5b 5c 66 72 61 |i_{l'} (|r).[\fra|
|000069e0| 63 7b 64 20 5c 70 68 69 | 5f 7b 6c 7d 28 72 29 7d |c{d \phi|_{l}(r)}|
|000069f0| 7b 64 72 7d 20 2d 20 5c | 66 72 61 63 7b 6c 7d 7b |{dr} - \|frac{l}{|
|00006a00| 72 7d 20 5c 70 68 69 5f | 7b 6c 7d 28 72 29 5d 20 |r} \phi_|{l}(r)] |
|00006a10| 6a 5f 7b 5c 6c 61 6d 62 | 64 61 7d 20 28 71 72 29 |j_{\lamb|da} (qr)|
|00006a20| 0a 24 24 0a 0a 24 24 0a | 2d 20 28 2d 31 29 5e 7b |.$$..$$.|- (-1)^{|
|00006a30| 6a 2d 6a 27 20 2b 6c 2d | 6c 27 7d 20 5c 64 65 6c |j-j' +l-|l'} \del|
|00006a40| 74 61 5f 7b 6a 27 2c 20 | 6c 27 20 2b 20 31 2f 32 |ta_{j', |l' + 1/2|
|00006a50| 7d 20 28 6c 27 2b 31 29 | 5e 7b 31 2f 32 7d 20 5c |} (l'+1)|^{1/2} \|
|00006a60| 6c 65 66 74 28 20 5c 66 | 72 61 63 7b 32 6a 20 2b |left( \f|rac{2j +|
|00006a70| 20 31 7d 0a 7b 32 6a 27 | 20 2b 20 31 7d 20 5c 72 | 1}.{2j'| + 1} \r|
|00006a80| 69 67 68 74 29 5e 7b 31 | 2f 32 7d 0a 24 24 0a 0a |ight)^{1|/2}.$$..|
|00006a90| 24 24 0a 5c 69 6e 74 5f | 7b 30 7d 5e 7b 5c 69 6e |$$.\int_|{0}^{\in|
|00006aa0| 66 74 79 7d 20 72 5e 7b | 32 7d 20 64 72 20 5b 5c |fty} r^{|2} dr [\|
|00006ab0| 66 72 61 63 7b 64 20 5c | 70 68 69 5f 7b 20 6c 27 |frac{d \|phi_{ l'|
|00006ac0| 7d 28 72 29 7d 7b 64 72 | 7d 20 2d 20 5c 66 72 61 |}(r)}{dr|} - \fra|
|00006ad0| 63 7b 6c 27 7d 7b 72 7d | 20 0a 5c 70 68 69 5f 7b |c{l'}{r}| .\phi_{|
|00006ae0| 6c 27 7d 28 72 29 5d 0a | 5c 70 68 69 5f 7b 6c 7d |l'}(r)].|\phi_{l}|
|00006af0| 28 72 29 6a 5f 7b 5c 6c | 61 6d 62 64 61 7d 20 28 |(r)j_{\l|ambda} (|
|00006b00| 71 72 29 0a 24 24 0a 0a | 24 24 0a 2d 20 5c 64 65 |qr).$$..|$$.- \de|
|00006b10| 6c 74 61 20 5f 7b 6a 2c | 20 6c 2d 20 31 2f 32 7d |lta _{j,| l- 1/2}|
|00006b20| 20 6c 5e 7b 31 2f 32 7d | 20 5c 69 6e 74 5f 7b 30 | l^{1/2}| \int_{0|
|00006b30| 7d 5e 7b 5c 69 6e 66 74 | 79 7d 20 72 5e 7b 32 7d |}^{\inft|y} r^{2}|
|00006b40| 20 64 72 20 5c 70 68 69 | 5f 7b 6c 27 7d 28 72 29 | dr \phi|_{l'}(r)|
|00006b50| 20 5b 0a 5c 66 72 61 63 | 7b 64 20 5c 70 68 69 5f | [.\frac|{d \phi_|
|00006b60| 7b 6c 7d 28 72 29 7d 7b | 64 72 7d 20 2b 20 5c 66 |{l}(r)}{|dr} + \f|
|00006b70| 72 61 63 7b 6c 20 2b 20 | 31 7d 7b 72 7d 20 5c 70 |rac{l + |1}{r} \p|
|00006b80| 68 69 5f 7b 6c 7d 28 72 | 29 5d 20 6a 5f 7b 5c 6c |hi_{l}(r|)] j_{\l|
|00006b90| 61 6d 62 64 61 7d 20 28 | 71 72 29 0a 24 24 0a 0a |ambda} (|qr).$$..|
|00006ba0| 24 24 0a 2b 20 28 2d 31 | 29 5e 7b 6a 2d 6a 27 2b |$$.+ (-1|)^{j-j'+|
|00006bb0| 6c 20 2d 6c 27 7d 20 5c | 64 65 6c 74 61 5f 7b 6a |l -l'} \|delta_{j|
|00006bc0| 27 2c 20 6c 27 20 2d 20 | 31 2f 32 7d 20 6c 27 5e |', l' - |1/2} l'^|
|00006bd0| 7b 31 2f 32 7d 20 0a 5c | 6c 65 66 74 28 5c 66 72 |{1/2} .\|left(\fr|
|00006be0| 61 63 7b 32 6a 20 2b 20 | 31 7d 7b 32 6a 27 20 2b |ac{2j + |1}{2j' +|
|00006bf0| 20 31 7d 5c 72 69 67 68 | 74 29 5e 7b 31 2f 32 7d | 1}\righ|t)^{1/2}|
|00006c00| 0a 24 24 0a 0a 24 24 0a | 5c 69 6e 74 5f 7b 30 7d |.$$..$$.|\int_{0}|
|00006c10| 5e 7b 5c 69 6e 66 74 79 | 7d 20 72 5e 7b 32 7d 20 |^{\infty|} r^{2} |
|00006c20| 64 72 20 5b 5c 66 72 61 | 63 7b 64 20 5c 70 68 69 |dr [\fra|c{d \phi|
|00006c30| 5f 7b 6c 27 7d 28 72 29 | 7d 7b 64 72 7d 20 2b 20 |_{l'}(r)|}{dr} + |
|00006c40| 0a 5c 66 72 61 63 7b 6c | 27 20 2b 20 31 7d 7b 72 |.\frac{l|' + 1}{r|
|00006c50| 7d 20 5c 70 68 69 5f 7b | 6c 27 7d 28 72 29 5d 0a |} \phi_{|l'}(r)].|
|00006c60| 5c 70 68 69 5f 7b 6c 7d | 20 28 72 29 20 6a 5f 7b |\phi_{l}| (r) j_{|
|00006c70| 5c 6c 61 6d 62 64 61 7d | 20 28 71 72 29 0a 5c 65 |\lambda}| (qr).\e|
|00006c80| 71 6e 6f 7b 28 61 2e 39 | 29 7d 0a 24 24 0a 0a 5c |qno{(a.9|)}.$$..\|
|00006c90| 6e 65 77 70 61 67 65 0a | 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b |newpage.|.\begin{|
|00006ca0| 74 68 65 62 69 62 6c 69 | 6f 67 72 61 70 68 79 7d |thebibli|ography}|
|00006cb0| 7b 39 39 7d 0a 5c 62 69 | 62 69 74 65 6d 7b 31 7d |{99}.\bi|bitem{1}|
|00006cc0| 20 4a 2e 20 44 65 6c 6f | 72 6d 65 20 61 6e 64 20 | J. Delo|rme and |
|00006cd0| 49 2e 53 2e 20 54 6f 77 | 6e 65 72 2c 20 4e 75 63 |I.S. Tow|ner, Nuc|
|00006ce0| 6c 2e 20 50 68 79 73 2e | 20 41 34 37 35 20 28 31 |l. Phys.| A475 (1|
|00006cf0| 39 38 37 29 20 37 32 30 | 0a 5c 62 69 62 69 74 65 |987) 720|.\bibite|
|00006d00| 6d 7b 32 7d 20 42 2e 44 | 2e 20 53 65 72 6f 74 20 |m{2} B.D|. Serot |
|00006d10| 61 6e 64 20 4a 2e 44 2e | 20 57 61 6c 65 63 6b 61 |and J.D.| Walecka|
|00006d20| 2c 20 41 64 76 2e 20 4e | 75 63 6c 2e 20 50 68 79 |, Adv. N|ucl. Phy|
|00006d30| 73 2e 20 31 36 20 28 31 | 39 38 36 29 20 31 20 3b |s. 16 (1|986) 1 ;|
|00006d40| 5c 5c 0a 4a 2e 44 2e 20 | 57 61 6c 65 63 6b 61 2c |\\.J.D. |Walecka,|
|00006d50| 20 41 6e 6e 20 6f 66 20 | 50 68 79 73 2e 20 38 33 | Ann of |Phys. 83|
|00006d60| 20 28 31 39 37 34 29 20 | 34 39 31 2e 0a 5c 62 69 | (1974) |491..\bi|
|00006d70| 62 69 74 65 6d 7b 33 7d | 20 4d 2e 20 4b 75 62 6f |bitem{3}| M. Kubo|
|00006d80| 64 65 72 61 2c 20 4a 2e | 20 44 65 6c 6f 72 6d 65 |dera, J.| Delorme|
|00006d90| 20 61 6e 64 20 4d 2e 20 | 52 68 6f 2c 20 50 68 79 | and M. |Rho, Phy|
|00006da0| 73 2e 20 52 65 76 2e 20 | 4c 65 74 74 2e 20 34 30 |s. Rev. |Lett. 40|
|00006db0| 20 28 31 39 37 38 29 20 | 37 35 35 0a 5c 62 69 62 | (1978) |755.\bib|
|00006dc0| 69 74 65 6d 7b 34 7d 20 | 4a 2e 20 44 65 6c 6f 72 |item{4} |J. Delor|
|00006dd0| 6d 65 2c 20 4e 75 63 6c | 2e 20 50 68 79 73 2e 20 |me, Nucl|. Phys. |
|00006de0| 41 33 37 34 20 28 31 39 | 38 32 29 20 35 34 31 2e |A374 (19|82) 541.|
|00006df0| 0a 5c 62 69 62 69 74 65 | 6d 7b 35 7d 20 4d 2e 20 |.\bibite|m{5} M. |
|00006e00| 4b 69 72 63 68 62 61 63 | 68 2c 20 53 2e 20 4b 61 |Kirchbac|h, S. Ka|
|00006e10| 6d 61 6c 6f 76 20 61 6e | 64 20 48 2e 55 2e 20 4a |malov an|d H.U. J|
|00006e20| 61 67 65 72 2c 20 0a 50 | 68 79 73 2e 20 4c 65 74 |ager, .P|hys. Let|
|00006e30| 74 2e 20 42 31 34 34 20 | 28 31 39 38 34 29 20 33 |t. B144 |(1984) 3|
|00006e40| 31 39 3b 5c 5c 0a 48 2e | 55 2e 20 4a 61 67 65 72 |19;\\.H.|U. Jager|
|00006e50| 2c 20 4d 2e 20 4b 69 72 | 63 68 62 61 63 68 20 61 |, M. Kir|chbach a|
|00006e60| 6e 64 20 45 2e 20 54 72 | 75 68 6c 69 6b 2c 20 4e |nd E. Tr|uhlik, N|
|00006e70| 75 63 6c 2e 20 50 68 79 | 73 2e 20 41 34 30 34 20 |ucl. Phy|s. A404 |
|00006e80| 28 31 39 38 33 29 20 34 | 35 36 2e 0a 5c 62 69 62 |(1983) 4|56..\bib|
|00006e90| 69 74 65 6d 7b 36 7d 20 | 4d 2e 20 4b 69 72 63 68 |item{6} |M. Kirch|
|00006ea0| 62 61 63 68 20 61 6e 64 | 20 48 2e 20 52 65 69 6e |bach and| H. Rein|
|00006eb0| 68 61 72 64 2c 20 50 68 | 79 73 2e 20 4c 65 74 74 |hard, Ph|ys. Lett|
|00006ec0| 2e 20 42 32 30 38 20 28 | 31 39 38 38 29 20 37 39 |. B208 (|1988) 79|
|00006ed0| 2e 0a 5c 62 69 62 69 74 | 65 6d 7b 37 7d 20 4d 2e |..\bibit|em{7} M.|
|00006ee0| 20 4b 69 72 63 68 62 61 | 63 68 2c 20 44 2e 20 4f | Kirchba|ch, D. O|
|00006ef0| 2e 20 52 69 73 6b 61 20 | 61 6e 64 20 4b 2e 20 54 |. Riska |and K. T|
|00006f00| 73 75 73 68 69 6d 61 2c | 20 4e 75 63 6c 2e 20 50 |sushima,| Nucl. P|
|00006f10| 68 79 73 2e 20 0a 41 35 | 34 32 20 28 31 39 39 32 |hys. .A5|42 (1992|
|00006f20| 29 20 36 31 36 2e 0a 5c | 62 69 62 69 74 65 6d 7b |) 616..\|bibitem{|
|00006f30| 37 61 7d 20 4d 2e 20 48 | 6a 6f 72 74 68 2d 4a 65 |7a} M. H|jorth-Je|
|00006f40| 6e 73 65 6e 2c 20 4d 2e | 20 4b 69 72 63 68 62 61 |nsen, M.| Kirchba|
|00006f50| 63 68 2c 20 44 2e 4f 2e | 20 52 69 73 6b 61 20 73 |ch, D.O.| Riska s|
|00006f60| 6e 64 20 4b 2e 0a 54 73 | 75 73 68 69 6d 61 2c 20 |nd K..Ts|ushima, |
|00006f70| 4e 75 63 6c 2e 20 50 68 | 79 73 2e 20 41 20 35 36 |Nucl. Ph|ys. A 56|
|00006f80| 33 20 28 31 39 39 33 29 | 20 35 32 35 2e 0a 5c 62 |3 (1993)| 525..\b|
|00006f90| 69 62 69 74 65 6d 7b 38 | 7d 20 49 2e 53 2e 20 54 |ibitem{8|} I.S. T|
|00006fa0| 6f 77 6e 65 72 2c 20 4e | 75 63 6c 2e 20 50 68 79 |owner, N|ucl. Phy|
|00006fb0| 73 2e 20 41 35 34 32 20 | 28 31 39 39 32 29 20 36 |s. A542 |(1992) 6|
|00006fc0| 33 31 2e 0a 5c 62 69 62 | 69 74 65 6d 7b 31 30 7d |31..\bib|item{10}|
|00006fd0| 20 52 2e 20 46 72 69 74 | 7a 2c 20 48 2e 20 4d 5c | R. Frit|z, H. M\|
|00006fe0| 22 75 74 68 65 72 20 61 | 6e 64 20 52 2e 20 4d 61 |"uther a|nd R. Ma|
|00006ff0| 63 68 6c 65 69 64 74 2c | 20 50 68 79 73 2e 20 52 |chleidt,| Phys. R|
|00007000| 65 76 2e 20 4c 65 74 74 | 2e 20 37 31 0a 28 31 39 |ev. Lett|. 71.(19|
|00007010| 39 33 29 20 34 36 3b 20 | 5c 5c 0a 52 2e 20 46 72 |93) 46; |\\.R. Fr|
|00007020| 69 74 7a 20 61 6e 64 20 | 48 2e 20 4d 5c 22 75 74 |itz and |H. M\"ut|
|00007030| 68 65 72 2c 20 50 68 79 | 73 2e 20 52 65 76 2e 20 |her, Phy|s. Rev. |
|00007040| 43 20 34 39 20 28 31 39 | 39 34 29 20 36 33 33 2e |C 49 (19|94) 633.|
|00007050| 0a 5c 62 69 62 69 74 65 | 6d 7b 72 75 70 72 7d 20 |.\bibite|m{rupr} |
|00007060| 52 2e 7e 4d 61 63 68 6c | 65 69 64 74 2c 20 41 64 |R.~Machl|eidt, Ad|
|00007070| 76 2e 20 69 6e 20 4e 75 | 63 6c 2e 20 50 68 79 73 |v. in Nu|cl. Phys|
|00007080| 2e 20 20 31 39 20 28 31 | 39 38 39 29 20 31 38 39 |. 19 (1|989) 189|
|00007090| 2e 0a 5c 62 69 62 69 74 | 65 6d 7b 6b 6c 65 69 6e |..\bibit|em{klein|
|000070a0| 7d 20 4d 2e 7e 4b 6c 65 | 69 6e 6d 61 6e 6e 2c 20 |} M.~Kle|inmann, |
|000070b0| 52 2e 7e 46 72 69 74 7a | 2c 20 48 2e 7e 4d 5c 22 |R.~Fritz|, H.~M\"|
|000070c0| 75 74 68 65 72 20 61 6e | 64 20 41 2e 7e 52 61 6d |uther an|d A.~Ram|
|000070d0| 6f 73 2c 20 4e 75 63 6c | 2e 0a 50 68 79 73 2e 20 |os, Nucl|..Phys. |
|000070e0| 69 6e 20 70 72 69 6e 74 | 0a 5c 62 69 62 69 74 65 |in print|.\bibite|
|000070f0| 6d 7b 39 7d 20 46 2e 20 | 4d 61 6e 64 6c 20 61 6e |m{9} F. |Mandl an|
|00007100| 64 20 47 2e 20 53 68 61 | 77 2c 20 51 75 61 6e 74 |d G. Sha|w, Quant|
|00007110| 75 6d 20 46 69 65 6c 64 | 20 54 68 65 6f 72 79 2c |um Field| Theory,|
|00007120| 20 4a 6f 68 6e 20 57 69 | 6c 65 79 2c 20 31 39 38 | John Wi|ley, 198|
|00007130| 38 2e 0a 5c 62 69 62 69 | 74 65 6d 7b 69 74 7a 7d |8..\bibi|tem{itz}|
|00007140| 20 43 2e 20 49 74 7a 79 | 6b 73 6f 6e 20 61 6e 64 | C. Itzy|kson and|
|00007150| 20 4a 2e 42 2e 20 5a 75 | 62 65 72 2c 20 60 60 51 | J.B. Zu|ber, ``Q|
|00007160| 75 61 6e 74 75 6d 20 46 | 69 65 6c 64 20 54 68 65 |uantum F|ield The|
|00007170| 6f 72 79 27 27 0a 28 4d | 63 47 72 61 77 2d 48 69 |ory''.(M|cGraw-Hi|
|00007180| 6c 6c 2c 20 4e 65 77 20 | 59 6f 72 6b 20 31 39 38 |ll, New |York 198|
|00007190| 30 29 0a 5c 62 69 62 69 | 74 65 6d 7b 6a 61 6d 38 |0).\bibi|tem{jam8|
|000071a0| 39 7d 20 4d 2e 7e 4a 61 | 6d 69 6e 6f 6e 20 61 6e |9} M.~Ja|minon an|
|000071b0| 64 20 43 2e 7e 4d 61 68 | 61 75 78 2c 20 52 65 76 |d C.~Mah|aux, Rev|
|000071c0| 2e 20 7b 5c 62 66 20 43 | 20 34 30 7d 20 28 31 39 |. {\bf C| 40} (19|
|000071d0| 38 39 29 20 33 35 34 2e | 0a 5c 62 69 62 69 74 65 |89) 354.|.\bibite|
|000071e0| 6d 7b 31 31 7d 20 43 2e | 4a 2e 20 48 6f 72 6f 77 |m{11} C.|J. Horow|
|000071f0| 69 74 7a 2c 20 50 68 79 | 73 2e 20 72 65 76 2e 20 |itz, Phy|s. rev. |
|00007200| 43 33 31 20 28 31 39 38 | 35 29 20 31 33 34 30 3b |C31 (198|5) 1340;|
|00007210| 5c 5c 0a 4c 2e 20 52 61 | 79 2c 20 47 2e 57 2e 20 |\\.L. Ra|y, G.W. |
|00007220| 48 6f 66 66 6d 61 6e 6e | 20 61 6e 64 20 57 2e 52 |Hoffmann| and W.R|
|00007230| 2e 20 43 6f 6b 65 72 2c | 20 50 68 79 73 2e 20 52 |. Coker,| Phys. R|
|00007240| 65 70 6f 72 74 73 20 32 | 31 32 20 28 31 39 39 32 |eports 2|12 (1992|
|00007250| 29 20 32 32 33 2e 0a 5c | 62 69 62 69 74 65 6d 7b |) 223..\|bibitem{|
|00007260| 31 32 7d 20 4a 2e 41 2e | 20 54 6a 6f 6e 20 61 6e |12} J.A.| Tjon an|
|00007270| 64 20 53 2e 4a 2e 20 57 | 61 6c 6c 61 63 65 2c 20 |d S.J. W|allace, |
|00007280| 50 68 79 73 2e 20 52 65 | 76 2e 20 43 33 32 20 28 |Phys. Re|v. C32 (|
|00007290| 31 39 38 35 29 20 31 36 | 36 37 3b 5c 5c 0a 69 62 |1985) 16|67;\\.ib|
|000072a0| 69 64 20 43 33 35 20 28 | 31 39 38 37 29 20 32 38 |id C35 (|1987) 28|
|000072b0| 30 3b 5c 5c 0a 69 62 69 | 64 20 43 33 36 20 28 31 |0;\\.ibi|d C36 (1|
|000072c0| 39 38 37 29 20 31 30 38 | 35 2e 0a 5c 62 69 62 69 |987) 108|5..\bibi|
|000072d0| 74 65 6d 7b 31 33 7d 20 | 41 2e 20 47 61 6c 69 6e |tem{13} |A. Galin|
|000072e0| 64 6f 20 61 6e 64 20 50 | 2e 20 50 61 73 63 75 61 |do and P|. Pascua|
|000072f0| 6c 2c 20 51 75 61 6e 74 | 75 6d 20 4d 65 63 68 61 |l, Quant|um Mecha|
|00007300| 6e 69 63 73 2c 20 53 70 | 72 69 6e 67 65 72 2c 20 |nics, Sp|ringer, |
|00007310| 42 65 72 6c 69 6e 0a 31 | 39 39 31 2e 0a 5c 65 6e |Berlin.1|991..\en|
|00007320| 64 7b 74 68 65 62 69 62 | 6c 69 6f 67 72 61 70 68 |d{thebib|liograph|
|00007330| 79 7d 0a 0a 5c 6e 65 77 | 70 61 67 65 0a 0a 5c 6e |y}..\new|page..\n|
|00007340| 6f 69 6e 64 65 6e 74 7b | 5c 62 66 20 46 69 67 75 |oindent{|\bf Figu|
|00007350| 72 65 20 63 61 70 74 69 | 6f 6e 73 3a 7d 0a 0a 5c |re capti|ons:}..\|
|00007360| 62 69 67 73 6b 69 70 5c | 6e 6f 69 6e 64 65 6e 74 |bigskip\|noindent|
|00007370| 0a 46 69 67 2e 20 31 20 | 44 69 61 67 72 61 6d 73 |.Fig. 1 |Diagrams|
|00007380| 20 61 70 70 65 61 72 69 | 6e 67 20 69 6e 20 74 68 | appeari|ng in th|
|00007390| 65 20 70 65 72 74 75 72 | 62 61 74 69 76 65 20 61 |e pertur|bative a|
|000073a0| 70 70 72 6f 61 63 68 20 | 74 6f 20 74 68 65 20 72 |pproach |to the r|
|000073b0| 65 6e 6f 72 6d 61 6c 69 | 7a 61 74 69 6f 6e 0a 6f |enormali|zation.o|
|000073c0| 66 20 74 68 65 20 61 78 | 69 61 6c 20 63 68 61 72 |f the ax|ial char|
|000073d0| 67 65 2e 0a 0a 61 29 20 | 62 29 20 69 6e 76 6f 6c |ge...a) |b) invol|
|000073e0| 76 69 6e 67 20 70 6f 73 | 69 74 69 76 65 20 65 6e |ving pos|itive en|
|000073f0| 65 72 67 79 20 69 6e 74 | 65 72 6d 65 64 69 61 74 |ergy int|ermediat|
|00007400| 65 20 6e 75 63 6c 65 6f | 6e 20 73 74 61 74 65 73 |e nucleo|n states|
|00007410| 3a 20 63 29 20 64 29 20 | 69 6e 76 6f 6c 76 69 6e |: c) d) |involvin|
|00007420| 67 0a 6e 65 67 61 74 69 | 76 65 20 65 6e 65 72 67 |g.negati|ve energ|
|00007430| 79 20 69 6e 74 65 72 6d | 65 64 69 61 74 65 20 73 |y interm|ediate s|
|00007440| 74 61 74 65 73 2e 0a 0a | 5c 62 69 67 73 6b 69 70 |tates...|\bigskip|
|00007450| 5c 6e 6f 69 6e 64 65 6e | 74 0a 46 69 67 2e 20 32 |\noinden|t.Fig. 2|
|00007460| 20 41 78 69 61 6c 20 63 | 68 61 72 67 65 20 66 6f | Axial c|harge fo|
|00007470| 72 6d 20 66 61 63 74 6f | 72 20 66 6f 72 20 74 68 |rm facto|r for th|
|00007480| 65 20 24 30 5e 7b 2b 7d | 20 5c 72 69 67 68 74 61 |e $0^{+}| \righta|
|00007490| 72 72 6f 77 20 30 5e 7b | 2d 7d 24 20 74 72 61 6e |rrow 0^{|-}$ tran|
|000074a0| 73 69 74 69 6f 6e 0a 69 | 6e 20 24 5e 7b 31 36 7d |sition.i|n $^{16}|
|000074b0| 4f 24 20 66 72 6f 6d 20 | 74 68 65 20 6f 72 62 69 |O$ from |the orbi|
|000074c0| 74 61 6c 73 20 24 31 70 | 5f 7b 31 2f 32 7d 20 5c |tals $1p|_{1/2} \|
|000074d0| 72 69 67 68 74 61 72 72 | 6f 77 20 32 73 5f 7b 31 |rightarr|ow 2s_{1|
|000074e0| 2f 32 7d 24 20 61 6e 64 | 0a 24 31 70 5f 7b 33 2f |/2}$ and|.$1p_{3/|
|000074f0| 32 7d 20 5c 72 69 67 68 | 74 61 72 72 6f 77 20 31 |2} \righ|tarrow 1|
|00007500| 64 5f 7b 33 2f 32 7d 24 | 20 77 69 74 68 20 72 65 |d_{3/2}$| with re|
|00007510| 6c 61 74 69 76 69 73 74 | 69 63 20 61 6e 64 20 65 |lativist|ic and e|
|00007520| 71 75 69 76 61 6c 65 6e | 74 20 6e 6f 6e 20 0a 72 |quivalen|t non .r|
|00007530| 65 6c 61 74 69 76 69 73 | 74 69 63 20 77 61 76 65 |elativis|tic wave|
|00007540| 20 66 75 6e 63 74 69 6f | 6e 73 2e 0a 0a 5c 62 69 | functio|ns...\bi|
|00007550| 67 73 6b 69 70 5c 6e 6f | 69 6e 64 65 6e 74 0a 46 |gskip\no|indent.F|
|00007560| 69 67 2e 20 33 20 52 61 | 74 69 6f 20 6f 66 20 74 |ig. 3 Ra|tio of t|
|00007570| 68 65 20 72 65 6c 61 74 | 69 76 69 73 74 69 63 20 |he relat|ivistic |
|00007580| 74 6f 20 6e 6f 6e 20 72 | 65 6c 61 74 69 76 69 73 |to non r|elativis|
|00007590| 74 69 63 20 6d 61 74 72 | 69 78 20 65 6c 65 6d 65 |tic matr|ix eleme|
|000075a0| 6e 74 73 20 6f 66 20 66 | 69 67 2e 0a 32 20 61 73 |nts of f|ig..2 as|
|000075b0| 20 61 20 66 75 6e 63 74 | 69 6f 6e 20 6f 66 20 74 | a funct|ion of t|
|000075c0| 68 65 20 6d 6f 6d 65 6e | 74 75 6d 20 74 72 61 6e |he momen|tum tran|
|000075d0| 73 66 65 72 2e 0a 0a 5c | 62 69 67 73 6b 69 70 5c |sfer...\|bigskip\|
|000075e0| 6e 6f 69 6e 64 65 6e 74 | 0a 46 69 67 2e 20 34 20 |noindent|.Fig. 4 |
|000075f0| 53 61 6d 65 20 61 73 20 | 66 69 67 2e 20 33 20 66 |Same as |fig. 3 f|
|00007600| 6f 72 20 24 5e 7b 34 30 | 7d 43 61 24 20 61 6e 64 |or $^{40|}Ca$ and|
|00007610| 20 74 68 65 20 74 72 61 | 6e 73 69 74 69 6f 6e 20 | the tra|nsition |
|00007620| 24 30 5e 7b 2b 7d 5c 72 | 69 67 68 74 61 72 72 6f |$0^{+}\r|ightarro|
|00007630| 77 0a 30 5e 7b 2d 7d 24 | 20 66 72 6f 6d 20 74 68 |w.0^{-}$| from th|
|00007640| 65 20 0a 6f 72 62 69 74 | 61 6c 73 20 24 31 64 5f |e .orbit|als $1d_|
|00007650| 7b 33 2f 32 7d 20 5c 72 | 69 67 68 74 61 72 72 6f |{3/2} \r|ightarro|
|00007660| 77 20 32 70 5f 7b 33 2f | 32 7d 24 2e 0a 0a 5c 62 |w 2p_{3/|2}$...\b|
|00007670| 69 67 73 6b 69 70 5c 6e | 6f 69 6e 64 65 6e 74 0a |igskip\n|oindent.|
|00007680| 46 69 67 2e 20 35 20 52 | 61 74 69 6f 20 6f 66 20 |Fig. 5 R|atio of |
|00007690| 72 65 6c 61 74 69 76 69 | 73 74 69 63 20 74 6f 20 |relativi|stic to |
|000076a0| 6e 6f 6e 20 72 65 6c 61 | 74 69 76 69 73 74 69 63 |non rela|tivistic|
|000076b0| 20 6d 61 74 72 69 78 20 | 65 6c 65 6d 65 6e 74 73 | matrix |elements|
|000076c0| 20 66 6f 72 20 74 68 65 | 0a 74 72 61 6e 73 69 74 | for the|.transit|
|000076d0| 69 6f 6e 20 69 6e 20 66 | 69 67 2e 20 34 2e 0a 0a |ion in f|ig. 4...|
|000076e0| 5c 65 6e 64 7b 64 6f 63 | 75 6d 65 6e 74 7d 0a 0a |\end{doc|ument}..|
|000076f0| 0a 0a 0a | |... | |
+--------+-------------------------+-------------------------+--------+--------+
